Wikipedia

Funkcja homograficzna: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
m drobne redakcyjne
m drobne redakcyjne, drobne merytoryczne
Linia 6:
# <math>ad-bc\ne 0\;</math> (w przeciwnym wypadku <math>f(x)\;</math> redukuje się do [[funkcja stała|funkcji stałej]])
# <math>c\ne 0</math> (w przeciwnym wypadku <math>f(x)\;</math> redukuje się do [[funkcja liniowa|funkcji liniowej]])
O ile warunek 1 jest podawanyumieszczany w definicji przez większość źródeł<ref name="Bronsztejn">{{cytuj książkę|imię=I.N.|nazwisko=Bronsztejn|imię2=K.A.|nazwisko2=Siemiendiajew|tytuł=Matematyka. Poradnik encyklopedyczny|miejsce=Warszawa|rok=1976|wydawca=PWN}}</ref><ref name="Europa">{{cytuj książkę|tytuł=Słownik encyklopedyczny – matematyka|wydawca=Wydawnictwo Europa|strony=69|rok=1998|miejsce=Wrocław|isbn=83-85336-06-0}}</ref><ref name="UEPWN">Uniwersalna Encyklopedia PWN, Wydawnictwo Naukowe PWN SA, wydanie elektroniczne 2008, wersja 1</ref>, to warunek 2 nie zawsze jest uwzględniany. Nie zaliczając bowiem funkcji liniowych do homografii traci się własności zbioru homogafii jako [[grupa (matematyka)|grupy]]. Część źródeł podaje także ten warunek<ref name="Bronsztejn"/><ref name="Europa"/>, część definiuje homografię bez niego<ref name="UEPWN"/>, Encyklopedia Szkolna podaje zarówno definicję z obydwoma powyższymi warunkami, jak i bez nich<ref name="szkolna">{{cytuj książkę|tytuł=Encyklopedia szkolna - matematyka|wydawca=Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne|miejsce=Warszawa|rok=1990|isbn=83-02-02551-8}}</ref>, niekiedy stosowany jest tylko warunek 2<ref name="Pogorzelski">{{cytuj książkę|imię=Witold|nazwisko=Pogorzelski|tytuł=Analiza matematyczna|miejsce=Warszawa|rok=1953|wydawca=PWN|tom=I|strony=55}}</ref>.
 
Współczynniki <math>a,b,c,d \,</math> i zmienna <math>x\,</math> mogą być liczbami rzeczywistymi, zespolonymi lub ogólniej – mogą być elementami dowolnego [[ciało (matematyka)|ciała]], przy czym
Linia 22:
 
== Różnowartościowość homografii ==
Homografia z warunkiem <math> ad - bc \ne 0</math> jest funkcją różnowartościową niezależnie od ciała, w którym jest określona.
 
Istotnie, jeśli
Linia 53:
 
== Grupowe własności funkcji homograficznej ==
Zbiór wszystkich funkcji homograficznych określonych w danym [[ciało (matematyka)|ciele]] (włączając przypadek <math>c=0\;</math>) tworzy [[grupa (matematyka)|grupę]] ze względu na składanie.
 
Rzeczywiście, jeśli
Linia 104:
 
W języku macierzowym oznacza to, że każda macierz <math>2 \times 2</math> może być przedstawiona jako iloczyn macierzy postaci
: <math>
\begin{pmatrix} 1&a\\0&1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} a&0\\0&1 \end{pmatrix},
Linia 116:
Wówczas oznaczając D = ad-bc, D' = a'd'-b'c' dostaniemy:
 
: <math>f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}= \frac{c'^2D}{c^2D'}\cdot\frac{a'(x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'})+b'}{c'(x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'})+d'}-\frac{a'c'D}{c^2D'}+\frac{a}{c}
=
\frac{c'^2D}{c^2D'}\cdot g(x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'})-\frac{a'c'D}{c^2D'}+\frac{a}{c}
Linia 122:
 
czyli
: <math>f(x) = (h_2\circ g \circ h_1) (x) </math>▼
 
▲<math>f(x) = (h_2\circ g \circ h_1) (x) </math>
 
gdzie h<sub>2</sub>, h<sub>1</sub> są liniowymi funkcjami:
: <math>h_1h_2(x)=x+\frac{dc'^2D}{c^2D'}\cdot x-\frac{da'c'D}{c^2D'}+\frac{a}{c}</math>▼
 
: <math>h_2h_1(x)=x+\frac{c'^2Dd}{c^2D'}\cdot x-\frac{ad'c'D}{c^2D'}+\frac{a}{c}</math>
 
▲<math>h_1(x)=x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'}</math>
 
Jedną homografię można więc otrzymać z innej przemnażając (w sensie składania) lewostronnie i prawostronnie przez pewne funkcje liniowe. Przydaje się to przy budowaniu i analizowaniu wykresów.
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_homograficzna”