Interwał czasoprzestrzenny: Różnice pomiędzy wersjami

'''Interwał czasoprzestrzenny''' &ndash; odległość [[czasoprzestrzeń|czasoprzestrzenna]]. W [[przestrzeń Minkowskiego|przestrzeni Minkowskiego]] (bez uwzględnienia grawitacji) o sygnaturze <MATHmath>(1,-1,-1,-1)\;\;</MATHmath>, opisana jest wzorem:

: {{IndexWzórwzór|<math>\Delta s_{12}^2={({t_2}-{t_1})}^2{c^2}-{[({x_2}-{x_1})^2}+{({y_2}-{y_1})^2}+({z_2}-{z_1})^2]\;</MATHmath>}}

:<math>\Delta s_{12}^2\;</MATHmath> - interwał czasoprzestrzenny między dwoma zdarzeniami mierzony w [[układ inercjalny|inercjalnym]] [[Układ odniesienia|układzie odniesienia]] U

:<math>x_1, y_1, z_1, t_1\,\;</MATHmath> &nbsp;&nbsp; i &nbsp;&nbsp; <math>x_2, y_2, z_2, t_2\,\;</MATHmath> to współrzędne zdarzeń w [[Przestrzeń kosmiczna|przestrzeni]] czterowymiarowej,

W prowadzającWprowadzając [[Tensor metryczny|tensor metryczny]] w [[przestrzeń Minkowskiego|przestrzeni Minkowskiego]], to interwał czasoprzestrzenny można zapisać następująco:

: {{IndexWzórwzór|<MATHmath>\Delta s^2=\eta_{\mu\nu}\Delta x^{\mu}\Delta x^{\nu}=\Delta x_{\mu}\Delta x^{\mu}\;</MATHmath>}}

Dla różniczek interwał czasoprzestrzenny według sygnatury&nbsp;<MATHmath>\left(1,-1,-1,-1\right)\;</MATHmath>&nbsp;przyjmuje postać:

: {{IndexWzórwzór|<math>ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}=dx_{\mu}dx^{\mu}\;</MATHmath>}}

Interwał czasoprzestrzenny w [[Ogólna teoria względności|ogólnej teorii względności]] można uogólnić z interwału czasoprzestrzennego znanej z [[Szczególna teoria względności|szczególnej teorii względności]], czyli on ulega zastąpieniu według wzoru:<MATHmath>\eta_{\mu\nu}\rightarrow g_{\mu\nu}\;</MATHmath>, zatem:

: {{IndexWzórwzór|<MATHmath>\Delta s^2=g_{\mu\nu}\Delta x^{\mu}\Delta x^{\nu}=\Delta x_{\mu}\Delta x^{\mu}\;</MATHmath>}}

Gdy przyjmniemyprzyjmiemy sygnaturę w szczególnej teorii względności lub w układzie lokalnie płaskim w ogólnej teorii względności następującą:<MATHmath>(-1,1,1,1)\;\;</MATHmath> to wtedy interwał czasoprzestrzenny jest wyrażony poniższym wzorem:

: {{IndexWzórwzór|<MATHmath>\Delta s^2=-g_{\mu\nu}\Delta x^{\mu}\Delta x^{\nu}=-\Delta x_{\nu}\Delta x^{\nu}\;</MATHmath>}}

: {{IndexWzórwzór|<MATHmath>\Delta s^2=-\eta_{\mu\nu}\Delta x^{\mu}\Delta x^{\nu}=-\Delta x_{\nu}\Delta x^{\nu}\;</MATHmath>}}

W obu teoriach względności sygnatura tensora tensora metrycznego Minkowskiego(jak wcześniej w spomnialiśmy w przypadku interwału czasoprzestrzennego) jest określona według:<MATHmath>\left(1,-1,-1,-1\right)\;</MATHmath>, lub jako:<MATHmath>\left(-1,1,1,1\right)\;</MATHmath>, i należy o tym pamiętać.

: {{IndexWzórwzór|<MATHmath>\Delta s^2=\eta_{\mu\nu}\Delta x^{\mu}\Delta x^{\nu}=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2=c^2\Delta t^2-\Delta s^2=\;</MATHmath>

<MATHmath>=c^2\left[1-\left({{\Delta s}\over{\Delta t}}\right)^2/c^2\right]\Delta t^2=c^2\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)\Delta t^2\Rightarrow \Delta s=c\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}\Delta t\;</MATHmath>}}

: {{IndexWzórwzór|<MATHmath>\Delta s=\int_{t=t_1}^{t=t_2} ds(t)=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-{{v^2(t)}\over{c^2}}}dt\;</MATHmath>}}

W ogólnej teorii względności interwał czasoprzestrzenny także jest niezmienniczy i jego wartość jest taka sama we wszystkich układach odniesienia poruszające się z przyspieszeniem względem starego układu odniesienia. W układzie lokalnie płaskim w ogólnej teorii względności jest spełniony interwał w czasoprzestrzeni Minkowskiego, w którym forma kwadratowa <MATHmath>\Delta s^2\geqslant 0\;</MATHmath>,bo <MATHmath>|\vec{v}|\leqslant c\;</MATHmath>, zgodnie z twierdzeniem z algebry w innym układzie odniesienia dowolna forma kwadratowa(interwał casoprzestrzennyczasoprzestrzenny) spełnia wartość dodatnią.

Ogólnie interwały w szczególnej teorii względności(mamy tutaj:<MATHmath>|\vec{v}|\leqslant c\;</MATHmath> oraz z definicji interwału czasoprzestrzennego w przestrzeni Minkowskiego) oraz ogólnej teorii względności(lokalna płaskość i niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego od ruchu układu odniesienia względem starego układu odniesienia), interwały czasoprzestrzenne dzieli się na:

* '''czasowe''' <math>\Delta s_{12}^2>0\;</MATHmath>

* '''zerowe''' <math>\Delta s_{12}^2=0\;</MATHmath>

* '''przestrzenne''' <math>\Delta s_{12}^2<0\;</MATHmath>