Funkcja różniczkowalna: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
Rar (dyskusja | edycje)
interwiki uk:
MatmaBot (dyskusja | edycje)
m poprawa zapisu nagłówków, WP:SK
Linia 4:
W szczególności funkcja pochodna danej funkcji określona jest w tej samej co funkcja dziedzinie.
 
=== Funkcja n-krotnie różniczkowalna ===
Jeżeli funkcja ''f'' ma pochodną g w zbiorze ''A'' oraz funkcja ''g'' ma pochodną ''h'' w zbiorze <math> B \subset A </math> to powiemy, że ''f'' jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze ''B'', oraz druga pochodna funkcji ''f'' na tym zbiorze to ''h''.
Analogicznie można zdefiniować n-tą pochodną funkcji ''f''.
 
=== Funkcja klasy C<sup>n</sup> ===
Jeżeli funkcja ''f'' ma w przedziale ''(a,b)'' n pochodnych i n-ta pochodna ''f <sup>(n)</sup>'' jest [[funkcja ciągła|funkcją ciągłą]] w ''(a,b)'' to funkcję ''f'' nazywamy funkcją klasy ''C<sup>n</sup>( (a,b) )''. Przez funkcję klasy ''C <sup>0</sup>'' rozumiemy funkcję ciągłą.
 
Linia 17:
Ważną klasę funkcji stanowi <math>C^{\infty}</math> (C-nieskończoność) czyli różniczkowalna dowolną liczbę razy. Klasę <math>C^\infty</math> nazywamy też klasą funkcji '''gładkich'''.
 
==== Przykłady ====
* [[Wielomian|Wielomiany]], [[Funkcja wykładnicza|funkcje wykładnicze]], [[Funkcje trygonometryczne|sinus i cosinus]], [[Funkcje hiperboliczne|sinus, cosinus i tangens hiperboliczny]], są funkcjami klasy <math>C^{\infty}(\mathbb{R})</math>
* funkcja f(x)=|x| jest klasy <math>C^{0}(\mathbb{R})</math> ale nie <math>C^{1}(\mathbb{R})</math>
* funkcja dana wzorem:
 
: <math> f(x) = \begin{cases} x^2\cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \mathrm{gdy\ } x \ne 0 \\ 0 & \mathrm{gdy\ } x = 0 \end{cases}</math>
 
jest różniczkowalna na całej prostej rzeczywistej ale wobec nieciągłości pochodnej w punkcie 0 jest tylko klasy <math>C^{0}(\mathbb{R})</math>
* funkcja dana wzorem:
 
: <math> f(x) = \begin{cases} x^3\cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \mathrm{gdy\ } x \ne 0 \\ 0 & \mathrm{gdy\ } x = 0 \end{cases}</math>
 
jest klasy <math>C^{1}(\mathbb{R})</math> ale nie <math>C^{2}(\mathbb{R}).</math>
 
== Zobacz też: ==
* [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]]