Pierścień z dzieleniem: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m →Definicja: drobne merytoryczne |
m WP:SK, Konradzie, pisz ze źródeł! |
||
Linia 1:
{{spis treści}}
'''Pierścień z dzieleniem''' – [[pierścień (matematyka)|pierścień]] spełniający wszystkie [[aksjomat]]y [[ciało (matematyka)|ciała]] poza ewentualnie aksjomatem [[przemienność|przemienności]] [[mnożenie|mnożenia]]. Każde ciało jest pierścieniem z dzieleniem. Mimo że iloczyn w niżej opisanych pierścieniach i algebrach jest łączny, rozważa się także [[Algebra z dzieleniem#Algebry niełączne|niełączne algebry z dzieleniem]], np. algebrę [[oktoniony|oktonionów]].
== Nazwa ==
Historycznie pierwszym przykładem pierścienia z dzieleniem nie będącego ciałem były [[kwaterniony]] odkryte w 1853 roku przez [[William Rowan Hamilton|Hamiltona]]. Ze względu na podobieństwo definicji strukturę tę nazywano niegdyś ''ciałem nieprzemiennym''<ref>G. Birkhoff, S. Mac Lane ''Przegląd algebry współczesnej'', PWN 1966, tł. A. Ehrenfeucht, A. Wł. Mostowski, VIII§10 (str. 256): „Twierdzenie 20. Kwaterniony tworzą ciało nieprzemienne”. Dzisiaj na niekorzyść stosowanej w tym podręczniku terminologii przemawia użycie archaiczne stosowanie pojęć, np. użycie terminu „[[algebra ogólna|struktura]]” w znaczeniu „[[krata (porządek)|krata]]”.</ref>, ponieważ samo ciało definiowane jest jako przemienne<ref>Już w najstarszych podręcznikach, np. W. Sierpiński ''Zasady algebry'', PWN 1946, napisany jeszcze przed wojną; A. Mostowski, M. Stark ''Algebra wyższa'', t. 1-3 PWN 1953-1954, nie omawia się tam nawet pierścieni nieprzemiennych</ref>, pojęcie to nie zadomowiło się w języku matematycznym. Innym pomysłem było uogólnienie definicji ciała poprzez rezygnację z jego przemienności i nazywanie ''ciałem przemiennym'' tego, co określane jest dzisiaj terminem „ciało”<ref>A. G. Kurosz, ''Algebra ogólna'', PWN 1965, rozdz. II2.10., tł. polskie W. Holsztyńskiego, który próbował rozwiązać opozycję ''tielo'' – ''polie'' (pierścień z dzieleniem – ciało) obecną w rosyjskiej terminologii matematycznej.</ref>, lecz ten pomysł również się nie przyjął. Z kolei pojęcie ''pierścienia z dzieleniem'' jest używane we współczesnej literaturze matematycznej<ref>A. Białynicki-Birula ''Zarys algebry'', PWN 1987, I§14, str. 56-57</ref>, dlatego niepolecane jest stosowanie [[kalka (językoznawstwo)|kalek]] z języków [[język angielski|angielskiego]] i [[język niemiecki|niemieckiego]] takich jak „ciało skośne” (od ang. ''skew field'' oraz niem. ''Schiefkörper'').
== Definicja ==
Nietrywialny pierścień <math>R</math> nazywamy '''pierścieniem z dzieleniem''', gdy każdy niezerowy element <math>a \in R</math> ma element odwrotny ze względu na mnożenie, tzn.
: <math>\forall_{a \in R\setminus \{ 0\} }\; \exists_{b \in G}\; a \cdot b = b \cdot a = 1</math>.
Innymi słowy, pierścień <math>R</math> jest pierścieniem z dzieleniem wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\operatorname{U}(R) = R \setminus \{0\}</math>, tj. grupa [[element odwracalny|elementów odwracalnych]] składa się z wszystkich niezerowych elementów.
Linia 14:
'''Pierścień z dzieleniem''' jest zatem [[krotka|piątką uporządkowaną]] <math>(R, +, \cdot, 0, 1)</math> taką, że:
* <math>(R, +, 0)</math> jest [[grupa przemienna|grupą przemienną]],
* <math>(R\setminus\{0\}, \cdot, 1)</math> jest [[grupa (matematyka)|grupą
* <math>\forall_{a,b,c \in R}\; (a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)</math>
* <math>\forall_{a,b,c \in R}\; a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)</math>
* <math>1 \ne 0</math> (ten aksjomat jest czasem pomijany, gdyż wynika z pozostałych i dodatkowego założenia o istnieniu przynajmniej dwóch elementów pierścienia).
== Własności ==
Można określić sporą część [[algebra liniowa|algebry liniowej]] opartej na [[moduł (matematyka)|modułach]] nad pierścieniami z dzieleniem zamiast na [[przestrzeń liniowa|przestrzeniach liniowych]] nad ciałami i nadal pozostaje ona spójna oraz niesprzeczna. Każdy moduł nad pierścieniem z dzieleniem ma bazę, przekształcenia liniowe między skończeniewymiarowymi modułami nad pierścieniami z dzieleniem mogą być opisywane za pomocą [[macierz]]y i można stosować algorytm [[metoda Gaussa|eliminacji Gaussa]].
[[Centrum (algebra)|Centrum]] pierścienia z dzieleniem jest przemienne, zatem jest ciałem. Każdy pierścień z dzieleniem jest więc [[algebra z dzieleniem|algebrą z dzieleniem]] nad swoim centrum. Pierścienie z dzieleniem mogą być ogólnie klasyfikowane według tego, czy są skończenie- czy też nieskończeniewymiarowe nad swoim centrami. W pierwszym przypadku nazywa się je '''centralnie skończonymi''', w drugim '''centralnie nieskończonymi'''. Każde ciało jest oczywiście jednowymiarowe nad swoim centrum.
== Przykłady ==
* Dowolne [[ciało (matematyka)|ciało]] jest pierścieniem z dzieleniem, w którym mnożenie jest przemienne.
* [[Kwaterniony]] <math>\mathbb H</math> (uogólnienie [[liczby zespolone|liczb zespolonych]]) są nieprzemiennym pierścieniem z dzieleniem. Pierścień kwaternionów jest czterowymiarową algebrą nad swoim centrum, które jest izomorficzne z liczbami rzeczywistymi.
Linia 31:
* Ogólnie, jeżeli <math>S</math> jest [[moduł prosty|modułem prostym]] nad pierścieniem <math>R</math>, to [[pierścień endomorfizmów]] <math>S</math> jest pierścieniem z dzieleniem; co więcej: dowolny pierścień z dzieleniem jest określony w ten sposób nad pewnym modułem prostym.
== Twierdzenia ==
; Twierdzenie (małe) [[Joseph Wedderburn|Wedderburna]] : Wszystkie skończone pierścienie z dzieleniem są przemienne, zatem są [[ciało skończone|ciałami skończonymi]] (istnieje prosty dowód dany przez [[Ernst Witt|Ernsta Witta]]).
; [[Twierdzenie Frobeniusa#O algebrach z dzieleniem nad ciałem liczb rzeczywistych|Twierdzenie Frobeniusa]] : Każda łączna algebra z dzieleniem nad ciałem liczb rzeczywistych jest izomorficzna albo z ciałem liczb rzeczywistych, albo z ciałem liczb zespolonych, albo z algebrą kwaternionów.
== Zobacz też ==
* [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]],
* [[ciało (matematyka)|ciało]],
Linia 41:
* [[grupa (matematyka)|grupa]].
== Linki zewnętrzne ==
*{{lang|en}} [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3627 Dowód twierdzenia Wedderburna na Planet Math]
| |||