Lemat Kuratowskiego-Zorna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m robot dodaje: nl:Lemma van Zorn |
m →Przykład zastosowania: drobne merytoryczne, drobne redakcyjne |
||
Linia 28:
Przyjrzyjmy się typowemu zastosowaniu lematu, użytego do udowodnienia, że każdy pierścień <math>R</math> zawiera ''[[ideał maksymalny]]''. Nasz zbiór <math>P</math> składa się ze wszystkich (dwustronnych) [[ideał (teoria pierścieni)|ideałów]] <math>R</math>, z wyjątkiem samego <math>R</math>. Zbiór <math>P</math> jest częściowo uporządkowany relacją zawierania podzbiorów. Nasz dowód będzie polegał na znalezieniu maksymalnego elementu z <math>P</math>. ''Ideał'' <math>R</math> został wykluczony, ponieważ ''ideały maksymalne'' z definicji nie są równe <math>R</math>.
Chcemy użyć lematu Kuratowskiego-Zorna, więc bierzemy <math>T</math> - liniowo uporządkowany podzbiór <math>P</math> i musimy pokazać, że <math>T</math> ma ograniczenie górne, czyli, że istnieje ''ideał'' <math>I</math> w <math>R</math>, który jest większy niż wszystkie elementy <math>T</math>, ale mniejszy niż <math>R</math> (inaczej nie byłby w <math>P</math>). Niech <math>I</math> będzie sumą wszystkich ''ideałów'' z <math>T</math>. <math>I</math> jest ideałem: jeśli <math>a</math> i <math>b</math> są elementami <math>I</math>, to istnieją dwa ideały <math>J</math> i <math>K</math> w <math>T</math> takie, że <math>a\in J</math> i <math>b\in K</math>. Ponieważ <math>T</math> jest uporządkowane liniowo to wiemy, że <math>J</math> jest podzbiorem <math>K</math> lub odwrotnie. W pierwszym przypadku, zarówno <math>a</math> jak <math>b</math> są elementami ideału <math>K</math>, stąd ich suma <math>a+b</math> jest elementem <math>K</math> co pokazuje, że <math>a+b</math> jest elementem <math>I</math>. W drugim przypadku, i <math>a</math> i <math>b</math> są elementami ideału <math>J</math>. Podobnie dochodzimy do wniosku, że <math>a+b</math> jest zawarte w <math>I</math>. Co więcej, jeśli <math>
A oto istota dowodu: dlaczego <math>I</math> jest mniejsze niż <math>R</math>? Decydujące jest to, że ideał jest równy <math>R</math> wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera <math>\mathbf{1}</math> (Jest jasne, że jeśli jest równe <math>R</math>, to musi zawierać <math>\mathbf{1}</math>, z drugiej strony, jeśli zawiera <math>\mathbf{1}</math> i <math>R</math> jest dowolnym elementem <math>R</math>, to <math>r\mathbf{1} = R</math> jest elementem ideału, a więc ideał jest równy <math>R</math>). Więc jeśli <math>I</math> byłoby równe <math>R</math>, to zawierałoby <math>\mathbf{1}</math>, a to oznacza, że jeden z elementów zbioru <math>T</math> zawierałby <math>\mathbf{1}</math> co czyniłoby go równym <math>R</math> - ale jawnie wykluczyliśmy <math>R</math> z <math>P</math>.
| |||