Podzbiór: Różnice pomiędzy wersjami

'''Podzbiór''' – pewna „część” danego [[zbiór|zbioru]], czyli dla danego zbioru, nazywanego '''nadzbiorem''', zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się ''podzbiorem pustym'', drugi – ''podzbiorem jednoelementowym'' lub ''singletonem'', trzeci – ''podzbiorem niewłaściwym''.

 

Niech <math>A, B</math> będą zbiorami. Jeżeli każdy element <math>x \in A</math> jest jednocześnie elementem <math>B</math>, to zbiór <math>A</math> nazywa się '''podzbiorem''' zbioru <math>B</math>. W zapisie logicznym:

:<math>A \subseteq B \iff \forall_{x \in A}\ x \in B</math>,

Jeżeli jednocześnie każdy element zbioru <math>B</math> należy do <math>A</math>, to dla zaznaczenia tego faktu podzbiór <math>A</math> zbioru <math>B</math> nazywa się '''niewłaściwym'''. Fakt ten zachodzi dokładnie w jednej sytuacji: cały zbiór jest swoim podzbiorem niewłaściwym, a więc <math>B \subseteq B</math>. W przeciwnym wypadku, czyli gdy <math>A \subseteq B</math> oraz <math>A \ne B</math>, zbiór <math>A</math> nazywa się '''podzbiorem właściwym''' zbioru <math>B</math> i oznacza <math>A \subsetneq B</math>. Podobnie ma się rzecz z nadzbiorami.

 

W starszych pozycjach do oznaczenia bycia podzbiorem bądź nadzbiorem wykorzystywane były jedynie symbole <math>\subset</math> oraz <math>\supset</math>, a fakt bycia podzbiorem (nadzbiorem) właściwym zaznaczany był obok. Z czasem jednak zaczęto korzystać ze znaków <math>\subseteq</math> i <math>\supseteq</math> na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów niewłaściwych (z połączenia poprzednich znaków ze znakiem równości) pozostawiając poprzednie symbole dla przypadków właściwych<ref>Zgodnie z analogią do symboli stosowanych w [[częściowy porządek|relacjach porządku]], np. <math>\scriptstyle <, \leqslant, >, \geqslant</math>.</ref>. Ponieważ część autorów przyjęła nową konwencję, a część z nich pozostała przy starych oznaczeniach, znaczenie symboli <math>\subset</math> i <math>\supset</math> nie jest do dziś jasno określone i zależy od autora pozycji. Z tego powodu z czasem wprowadzono symbole <math>\subsetneq</math> i <math>\supsetneq</math> na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów niewłaściwych (połączenie ze znakiem nierówności), które jednoznacznie określają podzbiory i nadzbiory właściwe. W celu uniknięcia wątpliwości w artykule tym konsekwentnie stosowane są symbole zawierające znaki równości i nierówności.

 

Dla dowolnego zbioru <math>K</math> prawdziwe jest zdanie:

* [[zbiór pusty]] jest podzbiorem dowolnego zbioru ([[element najmniejszy i największy|element najmniejszy]]),

Relacja <math>\supseteq</math> ma analogiczne własności (ma [[element najmniejszy i największy|element największy]] zamiast najmniejszego, jest nim również zbiór pusty), a sama nie doczekała się własnej nazwy i również nosi nieściśle nazwę inkluzji bądź zawierania. Sposób czytania tych relacji również jest wymienny i zależy od czytelnika, choć zwykle stosuje się wyżej opisany.

 

Podobnie rzecz ma się z relacjami <math>\subsetneq</math> oraz <math>\supsetneq</math>, które niekiedy czyta się „zawiera się całkowicie (w całości) w” i „jest zawarty całkowicie w”. Relacje te są również są relacjami częściowego porządku, lecz ostrymi, mają więc nieco inne własności; dla dowolnych zbiorów <math>K, L, M</math>:

* żaden zbiór nie jest swoim ścisłym nadzbiorem ([[relacja zwrotna|przeciwzwrotność]]),

Warto zauważyć, że z własności drugiej i trzeciej wynika pierwsza.

 

* zbiór <math>\{1, 3, 4\}</math> jest podzbiorem (właściwym) zbioru <math>\{1, 2, 3, 4\}</math>,

* zbiór <math>\{1, 2, 3, 4\}</math> zawiera się w <math>\{1, 2, 3, 4\}</math>,

{{Przypisy}}

 

{{wikibooks2|książka=Matematyka dla liceum|rozdział=Liczby i ich zbiory|link=Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Pojęcie zbioru#Zawieranie i równość zbiorów}}

* [[teoria mnogości]],

* [[włożenie]].