Całkowanie przez podstawienie: Różnice pomiędzy wersjami

m
Wspomagane przez robota ujednoznacznienie: Przegląd zagadnień z zakresu matematyki - Zmieniono link(i) Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki; zmiany kosmetyczne
(→‎Przykłady: drobne redakcyjne)
m (Wspomagane przez robota ujednoznacznienie: Przegląd zagadnień z zakresu matematyki - Zmieniono link(i) Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki; zmiany kosmetyczne)
'''Całkowanie przez podstawienie''' to jedna z metod obliczania zamkniętych form [[całka|całek]].
__TOC__
== Opis metody ==
Jeśli:
* Funkcja <math>\psi(x)</math> jest [[różniczkowalność|różniczkowalna]] w <math>D</math>
* <math>I=\psi(D)</math> jest [[przedział (matematyka)|przedziałem]]
* Funkcja <math>g(x)</math> ma [[funkcja pierwotna|funkcję pierwotną]] w I, tzn.<math>G'(t) = g(t)</math>
* <math>f(x) = g(\psi(x)) \cdot \psi'(x), x \in D</math>
to funkcja ''f'' jest całkowalna w <math>D</math> oraz:
:<math>\int f(x) dx = \int g(\psi(x)) \cdot \psi'(x) dx = G(\psi(x)) + C</math>
* Funkcja ''f'' jest całkowalna w swej dziedzinie.
* Funkcja ''g'' określona na przedziale ''[a; b]'' jest różniczkowalna w sposób ciągły.
* ''g'(x)&ne;0≠0'' dla każdego ''x'' z przedziału ''(a; b)''
* Obraz funkcji ''g'' zawiera się w dziedzinie funkcji ''f''.
Wówczas:
:<math>\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx = \int\limits_a^bf(g(t)) \cdot g'(t)dt</math>
 
== Przykłady ==
* Obliczając całkę <math>\int \tfrac{\ln x}{x} dx</math>, zastosować można podstawienie <math>\ln x = t</math>, tzn.<math>\tfrac{dx}{x} = dt</math>, więc:
:<math>\int \frac{\ln x}{x} dx = \int t dt = {1 \over 2} t^2 + C = {1 \over 2} \ln^2 x + C</math>.
 
* Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:
:<math>\int \sin (2x+3) dx = \frac{1}{2} \int \sin (2x+3) 2 dx = \frac{1}{2} \int \sin (2x+3) d(2x+3) = - \frac{1}{2} \cos (2x+3) + C.</math>
 
== Przydatne podstawienia ==
=== Całkowanie funkcji trygonometrycznych ===
Całkując [[funkcja wymierna|funkcje wymierne]] [[funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]] (czyli funkcje postaci <math>R(\sin x, \cos x) </math>) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:
* W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne <math>t = \operatorname{tg}{x \over 2}</math>. Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
* Jeśli funkcja jest [[funkcja nieparzysta|nieparzysta]] ze względu na [[sinus]] (<math>R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)</math>), stosuje się podstawienie <math>t = \cos x</math>
* Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na [[cosinus]] (<math>R(\sin x, -\cos x) = -R(\sin x, \cos x)</math>), stosuje się podstawienie <math>t = \sin x</math>
* Jeśli funkcja jest [[funkcja parzysta|parzysta]] ze względu na sinus i cosinus równocześnie (<math>R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x)</math>), stosuje się podstawienie <math>t = \operatorname{tg}x</math>
 
Za pomocą [[jedynka trygonometryczna|jedynki trygonometrycznej]] oraz innych tożsamości trygonometrycznych wyprowadzić można czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:
<center><math>\sin x \cos x= \frac{\sin x \cos x}{\sin ^2 x + \cos ^2 x} \cdot \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x} = \frac{t}{t^2 + 1}</math></center>
 
==== Przykłady ====
Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:
<center><math>\int \frac{dx}{1+\sin x+\cos x} = \int \frac{\frac{2}{1+t^2}dt}{1+\frac{2t}{t^2+1}+\frac{1-t^2}{1+t^2}} = \int \frac{2dt}{1+t^2+2t+1-t^2} = </math></center>
Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:
 
* <math>\int R(x,\sqrt{x^2+a^2})dx</math> - podstawiamy <math>x = a \operatorname{sinh} t</math> lub <math>x = a \operatorname{tan} t</math>
* <math>\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})dx</math> - podstawiamy <math>x = a \operatorname{cosh} t</math> lub <math>x = a \operatorname{sec} t</math>
* <math>\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})dx</math> - podstawiamy <math>\ x = a \tanh t</math> lub <math>\ x = a \sin t</math>
 
=== Inne podstawienia ===
 
== Zobacz też ==
* [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki|przegląd zagadnień z zakresu matematyki]]
* [[całkowanie przez części]]
 
[[Kategoria:Całki]]
 
2 599 330

edycji