Wersja z 09:37, 15 kwi 2010 edytuj Ptbotgourou (dyskusja \| edycje) 37 586 edycji m robot poprawia: et:Sulund (topoloogia) ← poprzednia edycja		Wersja z 16:00, 16 kwi 2010 edytuj anuluj edycję ToSter (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 50 094 edycje m poprawa linków do przek., WP:SK, ujednoznacznienie następna edycja →
Linia 1: {{disambigR\|pojęcia z dziedziny topologii\|[[domknięcie (programowanie)]]}} '''Domknięcie, operacja domknięcia''' - w [[topologia\|topologii]], operacja przyporządkowująca [[podzbiór\|podzbiorowi]] [[przestrzeń topologiczna\|przestrzeni topologicznej]] najmniejszy (w sensie [[inkluzja (matematyka)\|inkluzji]]) [[zbiór domknięty]] zawierający ten podzbiór.▼ ▲'''Domknięcie, operacja domknięcia''' -– w [[topologia\|topologii]], operacja przyporządkowująca [[podzbiór\|podzbiorowi]] [[przestrzeń topologiczna\|przestrzeni topologicznej]] najmniejszy (w sensie [[inkluzja (matematyka)\|inkluzji]]) [[zbiór domknięty]] zawierający ten podzbiór. == Definicja == Niech <math>(X, \tau)</math> będzie [[przestrzeń topologiczna\|przestrzenią topologiczną]]. '''Domknięciem zbioru''' <math>A \subseteq X</math> nazywamy najmniejszy w sensie inkluzji [[zbiór domknięty]], oznaczany <math>\overline A</math> lub <math>\operatorname{cl}\;A</math><ref>od [[język angielski\|ang.]]. ''closure''</ref>, zawierający <math>A</math>. Innymi słowy: : <math>\operatorname{cl}\;A = \bigcap \{F \subseteq X\colon A \subseteq F \and X \setminus F \in \tau\}</math>. Linia 28 ⟶ 30: * <math>A \subset B \implies \operatorname{cl}\;A \subset \operatorname{cl} B</math> ([[funkcja monotoniczna\|monotoniczność]]), * <math>\operatorname{cl}(A \cap B) \subseteq \operatorname{cl}\;A \cap \operatorname{cl}\;B</math>; ta własność uogólnia się do [[zbiór przeliczalny\|przeliczalnej]] liczby zbiorów: ** Ogólniej, jeśli <math>(A_i)_{i\in I}</math> jest przeliczalną rodziną podzbiorów <math>X</math>, to <br /> <math>\quad\operatorname{cl}\;\bigcap_{i \in I}~A_i \subseteq \bigcap_{i \in I}~\operatorname{cl}\;A_i</math>. * Jeśli <math>(A_i)_{i\in I}</math> jest rodziną podzbiorów zbioru <math>X</math>, to <br /> <math>\quad \bigcup_{i \in I}~\operatorname{cl}\;A_i \subset \operatorname{cl}\;\bigcup_{i \in I}~A_i</math>. * Jeśli <math>(A_i)_{i\in I}</math> jest [[rodzina lokalnie skończona\|rodziną lokalnie skończoną]] podzbiorów zbioru <math>X</math>, to <br /> <math>\quad \bigcup_{i \in I}~\operatorname{cl}\;A_i = \operatorname{cl}\;\bigcup_{i \in I}~A_i</math>. * Domknięcie zbioru jest [[suma zbiorów\|sumą mnogościową]] tego zbioru oraz jego [[Brzeg (matematyka)\|brzegu]]. * Jeśli <math>Y</math> jest [[podprzestrzeń (topologia)\|podprzestrzenią topologiczną]] <math>X</math>, zawierającą <math>A</math>, to domknięcie <math>A</math> w przestrzeni <math>Y</math> jest równe części wspólnej <math>Y</math> i domknięcia <math>A</math> w przestrzeni <math>X</math>: <math>\operatorname{cl}_Y(A) = Y\cap \operatorname{cl}_X(A)</math>. Linia 56 ⟶ 58: == Literatura == * {{cytuj książkę \|nazwisko= Engelking \|imię= Ryszard \|autor link= Ryszard Engelking ~~\|inni=~~ \|tytuł= Topologia Ogólna \|url= \|data= \|rok=1976 \|miesiąc= \|wydawca=[[Wydawnictwo Naukowe PWN\|PWN]] \|miejsce=Warszawa \|id= \|strony= \|rozdział= \|adres rozdziału= \|cytat =}} [[Kategoria:Topologia]]

Domknięcie (topologia): Różnice pomiędzy wersjami