Miara Jordana: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja nieprzejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
MelancholieBot (dyskusja | edycje)
Linia 1:
{{do weryfikacji}}
'''Miara Jordana''' – formalizacja pojęcia rozmiaru, czyli np. [[długość łuku|długości]], [[pole powierzchni|pola]] danej [[figura płaska|figury]], [[objętość|objętości]] [[bryła|bryły]]. Nosi ona nazwisko [[Francuzi|francuskiego]] [[matematykmatematyka]]a [[Marie Ennemond Camille Jordan|Camille'a Jordana]], który wprowadził ją pod koniec dziewiętnastego wieku. Obecnie częściej stosuje się [[miara Lebesgue'a|miarę Lebesgue'a]] będącą uogólnieniem miary Jordana na szerszą klasę zbiorów.
 
== Miara Jordana dla sum prostokątów ==
[[Plik:Simple set1.png|right|thumb|Suma (być może nakładających się) prostokątów.]]
[[Plik:Simple set2.png|right|thumb|Rozkład powyższego zbioru na rozłączne prostokąty.]]
Niech <math>\mathbb R^n</math> będzie [[przestrzeń kartezjańskaeuklidesowa|przestrzenią kartezjańską]]. Niech <math>C</math> oznacza iloczyn [[zbiór ograniczony|ograniczonych]] [[przedział (matematyka)|przedziałów]]
: <math>C = [a_1, b_1) \times [a_2, b_2) \times \cdots \times [a_n, b_n)</math>,
które są domknięte z lewej i otwarte z prawej (przedziały półotwarte są wyborem technicznym; równie dobrze można użyć zbiorów domkniętych albo otwartych). Takie zbiory nazywać się będą '''''n''-''wymiarowymi prostokątami''''' lub po prostu '''''prostokątami'''''. '''Miarę Jordana''' takiego prostokąta definiuje się jako iloczyn długości przedziałów:
Linia 11:
 
Niech <math>S</math> będzie skończoną [[suma zbiorów|sumą]] prostokątów,
: {{wzór|<math>S = C_1 \cup C_2 \cup \cdots \cup C_k</math>|1}},
dla dowolnego <math>k \geqslant 1</math>.
 
Linia 17:
 
== Rozszerzenie na inne zbiory ==
[[Plik:Jordan illustration.png|right|thumb|Zbiór (reprezentowany na rysunku przez obszar wewnątrz niebieskiej krzywej) jest mierzalny w sensie Jordana wtedy i tylko wtedy, jeśli może być dobrze przybliżony tak od wewnątrz jak i od zewnątrz przez sumy prostokątów {{LinkWzór|1}} (ich brzegi oznaczone są odpowiednio ciemną zielenią i ciemnym różem).]]
 
Należy zauważyć, że zbiór będący iloczynem domkniętych przedziałów,
: <math>[a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \times \cdots \times [a_n, b_n]</math>,
Linia 24 ⟶ 25:
Formalnie dla zbioru <math>B</math> określa się jego '''wewnętrzną miarę Jordana''' jako
: <math>m_*(B) = \sup_{ S \subset B}~m(S)</math>,
a jego '''miarę zewnętrzną''' jako
: <math>m^*(B) = \inf_{S \supset B}~m(S)</math>,
gdzie [[kresy dolny i górny|kres dolny i górny]] brane są po sumach prostokątów <math>S</math>. Mówi się, że zbiór <math>B</math> jest mierzalny w sensie Jordana, jeśli miara wewnętrzna <math>B</math> jest równa mierze zewnętrznej. Wspólna wartość tych dwóch miar nazywana jest wtedy po prostu miarą Jordana zbioru <math>B</math>.
 
Okazuje się, że wszystkie prostokąty (z brzegiem lub bez) jak również wszystkie kule, [[sympleks (matematyka)|sympleksy]] itd. są mierzalne w sensie Jordana. Również dla dwóch [[funkcja ciągła|funkcji ciągłych]] zbiór punktów między wykresami tych funkcji jest mierzalny w sensie Jordana o ile zbiór jest ograniczony i wspólna dziedzina tych funkcji jest mierzalna w sensie Jordana. Dowolna skończona suma lub iloczyn, jak również [[różnica zbiorów|różnica]] dwóch zbiorów mierzalnych w sensie Jordana są mierzalne (jest to [[miara skończenie addytywna]]). Można udowodnić, że zbiór ograniczony jest mierzalny w sensie Jordana wtedy i tylko wtedy, jeśli jego [[brzeg (topologiamatematyka)|brzeg]] jest mierzalny w sensie Jordana i jest miary zero Jordana.
 
== Miara Lebesgue'a ==