Twierdzenie Carathéodory’ego (teoria miary): Różnice pomiędzy wersjami

Teraz, jeśli <math>A</math> zawiera się w <math>Z</math> miary zero należącym do <math>\mathfrak M,</math> tzn. <math>\mu^*(Z) = 0,</math> to z monotoniczności uzyskuje się <math>\mu^*(A) = 0,</math> co oznacza, iż <math>A</math> należy do <math>\mathfrak M.</math>

 

Jeżeli <math>\mu_0\colon \mathfrak A \to [0, \infty],</math> gdzie <math>\mathfrak A \subseteq \mathcal P(X),</math> przy czym <math>\varnothing, X \in \mathfrak A,</math> jest taką funkcją, że <math>\mu_0(\varnothing) = 0,</math> to funkcja <math>\mu^*\colon \mathcal P(X) \to [0, \infty]</math> dana wzorem

: <math>\mu^*(E) := \inf\left\{\sum_{i = 1}^\infty \mu_0(A_i)\colon \{A_i\}_{i \in \mathbb N} \subseteq \mathfrak A, \mbox{ gdzie } E \subseteq \bigcup_{i = 1}^\infty A_i\right\},</math>