Domknięcie (topologia): Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja nieprzejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
Konradek (dyskusja | edycje)
m Domknięcie przeniesiono do Domknięcie (topologia): o domknięciu można napisać szerzej.
Xqbot (dyskusja | edycje)
m Robot naprawia podwójne przekierowanie → Domknięcie (topologia)
Linia 1:
*#PATRZ [[Domknięcie normalne(topologia)]],
{{disambigR|pojęcia z dziedziny topologii|[[domknięcie (programowanie)]]}}
 
'''Domknięcie, operacja domknięcia''' – w [[topologia|topologii]], operacja przyporządkowująca [[podzbiór|podzbiorowi]] [[przestrzeń topologiczna|przestrzeni topologicznej]] najmniejszy (w sensie [[inkluzja (matematyka)|inkluzji]]) [[zbiór domknięty]] zawierający ten podzbiór.
 
== Definicja ==
Niech <math>(X, \tau)</math> będzie [[przestrzeń topologiczna|przestrzenią topologiczną]]. '''Domknięciem zbioru''' <math>A \subseteq X</math> nazywamy najmniejszy w sensie inkluzji [[zbiór domknięty]], oznaczany <math>\overline A</math> lub <math>\operatorname{cl}\;A</math><ref>od [[język angielski|ang.]] ''closure''</ref>, zawierający <math>A</math>. Innymi słowy:
: <math>\operatorname{cl}\;A = \bigcap \{F \subseteq X\colon A \subseteq F \and X \setminus F \in \tau\}</math>.
 
=== Uwagi ===
* Operacja domknięcia (określona na [[zbiór potęgowy|zbiorze potęgowym]] przestrzeni topologicznej) jest dobrze określona, gdyż rodzina wszystkich zbiorów domkniętych zawierających dany podzbiór przestrzeni jest [[zbiór pusty|niepusta]], ponieważ należy do niej cała przestrzeń.
* W dowolnym zbiorze <math>X</math> można określić topologię, wyróżniając przy pomocy tzw. [[Przestrzeń topologiczna#Za pomocą operacji wnętrza|operacji Kuratowskiego]] rodzinę ''zbiorów domkniętych''.
* Jeśli <math>X</math> jest przestrzenią topologiczną oraz <math>A\subseteq X</math>, to następujące warunki są równoważne:
*# <math>x \in \operatorname{cl}\;A</math>,
*# dla każdej [[baza otoczeń|bazy otoczeń]] <math>\mathcal B(x)</math> punktu <math>x</math> i każdego <math>U \in \mathcal B(x)</math> mamy <math>U \cap A \ne \varnothing</math>,
*# dla pewnej bazy otoczeń <math>\mathcal B(x)</math> punktu <math>x</math> i każdego <math>U \in \mathcal B(x)</math> mamy <math>U \cap A \ne \varnothing</math>.
* Jeśli <math>(X, d)</math> jest [[przestrzeń metryczna|przestrzenią metryczną]] oraz <math>A \subseteq X</math>, to
: <math>\operatorname{cl}\;A = \{x \in X\colon d(x, A) = 0\}</math>, gdzie przez <math>d(x, A)</math> rozumie się [[Przestrzeń metryczna#Odległość od zbioru|odległość punktu od zbioru]].
* Jeżeli <math>X</math> jest przestrzenią spełniającą [[aksjomaty przeliczalności|pierwszy aksjomat przeliczalności]] (np. przestrzenią metryczną) oraz <math>A</math> jest podzbiorem zbioru <math>X</math>, to punkt z przestrzeni <math>X</math> jest punktem domknięcia zbioru <math>A</math> wtedy i tylko wtedy, gdy jest [[granica ciągu|granicą]] pewnego ciągu elementów ze zbioru <math>A</math>. W ogólności, to znaczy w przypadku przestrzeni, które nie spełniają pierwszego aksjomatu przeliczalności, punkt należy do domknięcia zbioru <math>A</math> wtedy i tylko wtedy, gdy jest [[ciąg uogólniony#Punkty skupienia i granica|granicą]] pewnego [[ciąg uogólniony|ciągu uogólnionego]] o wyrazach z tego zbioru.
 
== Własności ==
Niech <math>X</math> będzie przestrzenią topologiczną oraz <math>A, B\subseteq X</math>. Wówczas:
* <math>\operatorname{cl}\;\varnothing = \varnothing</math>,
* <math>A \subseteq \operatorname{cl}\;A</math>,
* <math>\operatorname{cl}(A \cup B) = \operatorname{cl}\;A \cup \operatorname{cl}\;B</math>,
* <math>\operatorname{cl}(\operatorname{cl}\;A) = \operatorname{cl}\;A</math> ([[Idempotentność (matematyka)|idempotentność]]).
 
=== Dalsze własności ===
* <math>\operatorname{cl}\;X = X</math>,
* <math>A\ </math> jest domknięty <math>\iff A = \operatorname{cl}\;A</math>,
* <math>A \subset B \implies \operatorname{cl}\;A \subset \operatorname{cl} B</math> ([[funkcja monotoniczna|monotoniczność]]),
* <math>\operatorname{cl}(A \cap B) \subseteq \operatorname{cl}\;A \cap \operatorname{cl}\;B</math>; ta własność uogólnia się do [[zbiór przeliczalny|przeliczalnej]] liczby zbiorów:
** Ogólniej, jeśli <math>(A_i)_{i\in I}</math> jest przeliczalną rodziną podzbiorów <math>X</math>, to<br /><math>\quad\operatorname{cl}\;\bigcap_{i \in I}~A_i \subseteq \bigcap_{i \in I}~\operatorname{cl}\;A_i</math>.
* Jeśli <math>(A_i)_{i\in I}</math> jest rodziną podzbiorów zbioru <math>X</math>, to<br /><math>\quad \bigcup_{i \in I}~\operatorname{cl}\;A_i \subset \operatorname{cl}\;\bigcup_{i \in I}~A_i</math>.
* Jeśli <math>(A_i)_{i\in I}</math> jest [[rodzina lokalnie skończona|rodziną lokalnie skończoną]] podzbiorów zbioru <math>X</math>, to<br /><math>\quad \bigcup_{i \in I}~\operatorname{cl}\;A_i = \operatorname{cl}\;\bigcup_{i \in I}~A_i</math>.
* Domknięcie zbioru jest [[suma zbiorów|sumą mnogościową]] tego zbioru oraz jego [[Brzeg (matematyka)|brzegu]].
* Jeśli <math>Y</math> jest [[podprzestrzeń (topologia)|podprzestrzenią topologiczną]] <math>X</math>, zawierającą <math>A</math>, to domknięcie <math>A</math> w przestrzeni <math>Y</math> jest równe części wspólnej <math>Y</math> i domknięcia <math>A</math> w przestrzeni <math>X</math>: <math>\operatorname{cl}_Y(A) = Y\cap \operatorname{cl}_X(A)</math>.
* Dla każdego <math>A \subset X</math> mamy: <math>\operatorname{cl}\; A = X \setminus \operatorname{Int}\; (X \setminus A)</math>.
 
== Operacja domknięcia a topologia ==
Jeżeli operację brania domknięcia zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia cztery pierwsze własności, to może ona posłużyć do zdefiniowania [[Przestrzeń topologiczna#Zastosowanie operacji domknięcia|topologii przez operację domknięcia]] w zbiorze <math>X</math><ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Engelking |imię=Ryszard| autor link=Ryszard Engelking |tytuł=Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. Tom 47 |wydawca=Państwowe Wydawnictwo Naukowe |miejsce=Warszawa |rok=1975| strony=36}}</ref>.
 
== Przykłady ==
* W topologii antydyskretnej (czyli takiej, w której jedynymi zbiorami otwartymi są <math>\varnothing</math> i <math>X</math>), domknięciem dowolnego zbioru niepustego jest cała przestrzeń, innymi słowy, każdy niepusty podzbiór tej przestrzeni jest [[zbiór gęsty|gęsty]].
* W topologii dyskretnej (czyli takiej, w której każdy zbiór jest otwarty) domknięciem dowolnego zbioru jest on sam.
* W topologii euklidesowej, na [[liczby rzeczywiste|prostej rzeczywistej]] domknięciem
** [[Przedział otwarty|przedziału otwartego]] <math>(0, 1)</math> jest [[przedział domknięty]] <math>[0, 1]</math>.
** zbioru [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] i [[liczby niewymierne|liczb niewymiernych]] jest <math>\mathbb R</math>.
* W [[przestrzeń metryczna|przestrzeniach metrycznych]], domknięcie danego zbioru stanowią wszystkie [[granica ciągu|granice]] [[ciąg (matematyka)|ciągów]] elementów tego zbioru.
 
== Zobacz też ==
* [[Domknięcie normalne]],
* [[Brzeg (matematyka)|brzeg zbioru]],
* [[matroid]],
* [[pochodna zbioru]],
* [[wnętrze (matematyka)|wnętrze zbioru]].
 
{{Przypisy}}
 
== Literatura ==
* {{cytuj książkę |nazwisko= Engelking |imię= Ryszard |autor link= Ryszard Engelking |tytuł= Topologia Ogólna |url= |data= |rok=1976 |miesiąc= |wydawca=[[Wydawnictwo Naukowe PWN|PWN]] |miejsce=Warszawa |id= |strony= |rozdział= |adres rozdziału= |cytat =}}
 
[[Kategoria:Topologia]]
 
[[ar:غالق (طوبولوجيا)]]
[[cs:Uzávěr množiny]]
[[de:Abgeschlossene Hülle]]
[[et:Sulund (topoloogia)]]
[[en:Closure (topology)]]
[[es:Clausura topológica]]
[[fr:Adhérence (mathématiques)]]
[[ko:닫힘 (위상수학)]]
[[it:Chiusura (topologia)]]
[[he:סגור (טופולוגיה)]]
[[pt:Fecho]]
[[ru:Замыкание (геометрия)]]
[[sv:Slutet hölje]]
[[uk:Замикання (топологія)]]
[[zh-classical:拓撲閉包]]
[[zh:闭包 (拓扑学)]]