Wikipedia

Przestrzeń unormowana: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja nieprzejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
błędne cofnięcie
→‎Przestrzenie operatorów i sprzężone: drobne merytoryczne, drobne redakcyjne
Linia 75:
: <math>\langle x, y\rangle = \tfrac{1}{4}(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 + i\|x + iy\|^2 - i\|x - iy\|^2).</math>
 
=== Przestrzenie operatorówsprzężone i sprzężoneprzestrzenie operatorów===
{{main|norma operatora|przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)|przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)}}
{{seealso|przestrzeń refleksywna}}
Jeżeli <math>X</math> jest dowolną przestrzenią liniową nad ciałem <math>K,</math> to przestrzeń <math>\operatorname Lmbox{Hom}(X, K)</math> [[funkcjonał liniowy|funkcjonałów liniowych]] określonych na <math>X</math> \toi o wartościach w <math>K,</math> oznaczanąoznacza się zwykle symbolem <math>X',</math> i nazywa się ''przestrzenią sprzężoną algebraicznie'' do <math>X.</math>.
 
W przestrzeniachkontekście przestrzeni unormowanych nieskończonegorozważa wymiarusię majednak sensczęściej wyróżnianierodzinę tych funkcjonałów liniowych na nich określonych, które są [[operator ciągły|ciągłe]]: tworzą one przestrzeń <math>X^*</math>, nazywaną ''przestrzenią sprzężoną topologicznie''; w przestrzeni tej można w naturalny sposób wprowadzić [[norma operatora|normę operatorową]]. TakieNa mocy [[twierdzenie Banacha-Steinhausa|twierdzenia Banacha-Steinhausa]] przestrzenie zawszesprzężone do przestrzeni unormowanych są zawsze przestrzeniami Banacha (ograniczając się do przestrzeni nad ciałamiciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych), niezależnie od tego, czy Banacha jest sama przestrzeń <math>X.</math> jest zupełna.
 
Z każdą parą <math>(X, Y)</math> przestrzeni unormowanych można stowarzyszyć przestrzeń <math>\operatorname L(X, Y)</math> wszystkich [[operator ciągły|ciągłych]] [[operator liniowy|operatorów liniowych]] <math>X \to Y.</math> W przestrzeni <math>\operatorname L(X,Y)</math> wprowadza się normę wzorem▼
: <math>\begin{align} \|A\| & = \inf\bigl\{c > 0\colon \|Ax\| \leqslant c\|x\|,\, x \in X\bigr\} = \\ & = \sup\bigl\{\|Ax\|\colon x \in X,\,\|x\| \leqslant 1\bigr\} = \\ & = \sup\{\|Ax\|\colon x \in X,\,\|x\| = 1\bigr\} = \\ & = \sup\left\{\tfrac{\|Ax\|}{\|x\|}\colon\, x \in X,\, x \neq 0\right\},\, A \in \operatorname L(X,Y) \end{align} </math>▼
Ostatnia równość ma sens tylko w przypadku, gdy <math>X</math> jest [[przykłady przestrzeni liniowych#Trywialna lub zerowa przestrzeń liniowa|przestrzenią nietrywialną]]. ▼
 
Każdą przestrzeń unormowaną ''X'' można [[izometria|izometrycznie]] zanurzyć w [[przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)#Drugie przestrzenie sprzężone|drugą przestrzeń sprzężoną]] <math>X^{**}</math>, poprzez odwzorowanie
Linia 91 ⟶ 87:
:<math>\kappa(x)x^*=x^* x,\, x^*\in X^*</math>.
Z [[twierdzenie Goldstine'a|twierdzenia Goldstine'a]] wynika, że obraz przestrzeni ''X'' poprzez odwzorowanie <math>\kappa</math> jest gęstym podzbiorem <math>X^{**}</math> w sensie [[słaba topologia|<math>X^*</math>-topologii]]. Ważną klasę przestrzeni unormowanych stanowią [[przestrzeń refleksywna|przestrzenie refleksywne]], tzn. te przestrzenie unormowane dla których odwzorowanie <math>\kappa</math> jest [[suriekcja|suriekcją]]. Przestrzeń <math>X^{**}</math> jest przestrzenią Banacha niezależnie od tego czy ''X'' ma tę własność, a więc każda unormowana przestrzeń refleksywna jest automatycznie przestrzenią Banacha.
 
▲Z każdą parą <math>(X, Y)</math> przestrzeni unormowanych można stowarzyszyć przestrzeń <math>\operatorname L(X, Y)</math> wszystkich [[operator ciągły|ciągłych]] [[operator liniowy|operatorów liniowych]] <math>X \to Y.</math> W przestrzeni <math>\operatorname L(X,Y)</math> wprowadza się normę wzorem
▲: <math>\begin{align} \|A\| & = \inf\bigl\{c > 0\colon \|Ax\| \leqslant c\|x\|,\, x \in X\bigr\} = \\ & = \sup\bigl\{\|Ax\|\colon x \in X,\,\|x\| \leqslant 1\bigr\} = \\ & = \sup\{\|Ax\|\colon x \in X,\,\|x\| = 1\bigr\} = \\ & = \sup\left\{\tfrac{\|Ax\|}{\|x\|}\colon\, x \in X,\, x \neq 0\right\},\, A \in \operatorname L(X,Y) \end{align} </math>
▲Ostatnia równość ma sens tylko w przypadku, gdy <math>X</math> jest [[przykłady przestrzeni liniowych#Trywialna lub zerowa przestrzeń liniowa|przestrzenią nietrywialną]].
 
== Bibliografia ==
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrzeń_unormowana”