Całka oznaczona: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
napisane na nowo - bez filozofowania
Linia 1:
'''Całka oznaczona''' – w matematyce, w zależności od kontekstu, synonim nazwy [[całka Riemanna]]<ref>{{cytuj książkę|imię=Grigorij Michajłowicz|nazwisko=Fichtenholz|autor link=Grigorij Michajłowicz Fichtenholz|tytuł=Rachunek różniczkowy i całkowy|Tom=2|miejsce=Warszawa|wydawca=PWN|rok=1966|strony=82}}</ref><ref>{{cytuj książkę|imię=Włodzimierz|nazwisko=Krysicki|imię2=Lech|nazwisko2=Włodarski|tytuł=Analiza matematyczna w zadaniach 2|miejsce=Warszawa|wydawca=PWN|rok=2005|ISBN=83-01-14295-2|strony=371-373}}</ref> albo ogólniej: określenie odnoszące się do tych pojęć [[całka|całki]] dla których zachodzi pewna wersja [[wzór Newtona-Leibniza|wzoru Newtona-Leibniza]] jak, na przykład:
'''Całka oznaczona''' – [[liczby|liczba]] określona dla pewnej [[funkcja|funkcji]] <math>f</math> i [[zbiór|zbioru]] zawartego w [[dziedzina (matematyka)|dziedzinie]] funkcji. W przypadku funkcji rzeczywistej jednej zmiennej można całkę oznaczoną interpretować jako różnicę takich dwóch liczb: 1) [[pole powierzchni|pola]] obszaru nad osią odciętych, pod [[wykres funkcji|wykresem funkcji]] w tych miejscach, gdzie jest dodatnia; 2) pola obszaru pod osią odciętych, nad wykresem funkcji w tych miejscach, gdzie jest ujemna; przy czym obszary te są ograniczone do wspomnianego podzbioru dziedziny.
* [[całka niewłaściwa|całka niewłaściwa (Riemanna)]],
* [[całka krzywoliniowa|całka po konturze na płaszczyźnie zespolonej]],
* [[całka Riemannaz dystrybucji]],
* [[twierdzenie Stokesa|całka z formy różniczkowej spełniającej założenia twierdzenia Stokesa]].
 
{{przypisy}}
Całkę oznaczoną funkcji <math>f</math> (ze zmienną związaną <math>x</math>) po zbiorze <math>A</math> oznacza się symbolem
: <math>\int\limits_{A} f(x)\;dx.</math>
Gdy zbiór <math>A</math> jest [[przedział (matematyka)|przedziałem]] <math>[a, b]</math> (wraz z punktami brzegowymi lub bez nich w dowolnej kombinacji: ich obecność nie ma wpływu na wartość całki), to oprócz oznaczenia
: <math>\int\limits_{[a, b]} f(x)\;dx</math>
korzysta się również z tradycyjnej symboliki
: <math>\int\limits_a^b f(x)\;dx.</math>
 
===Zobacz Definicje =też==
* [[całka Lebesgue'a]],
Istnieje wiele ścisłych definicji całki oznaczonej. Od wyboru definicji zależy obszerność klasy funkcji całkowalnych, to jest mających całkę oznaczoną. Jeśli jednak jakaś funkcja jest całkowalna według dwóch różnych definicji, to całki według tych definicji są sobie równe. Najważniejsze definicje całek oznaczonych:
* [[całka Newtona-Leibniza]],
* [[całka Riemanna]],
* [[całka Lebesgue'a]],
* [[całka Haara]].
 
W definicjach całki Newtona-Leibniza i całki Riemanna zakłada się, że ''f'' jest funkcją rzeczywistą określoną na pewnym przedziale [''a'', ''b''] zwanym '''przedziałem całkowania'''. Liczby ''a'' i ''b'' nazywamy '''granicami całkowania'''. W wypadku całki Lebesgue'a dziedziną funkcji jest [[miara Lebesgue'a|zbiór mierzalny w sensie Lebesgue'a]].
 
=== Własności całki oznaczonej ===
* Funkcja stała ''f''(''x'') = ''c'' jest całkowalna w każdym ze znaczeń tego słowa; jej całka od ''a'' do ''b'' jest równa ''c''·(''b''–''a'').
* W każdym z podanych niżej związków z istnienia całek po prawej stronie równości wynika istnienie całek (w tym samym sensie) napisanych po lewej stronie:
** całka sumy (różnicy) dwóch funkcji równa jest sumie (różnicy) całek tych funkcji,
** całka iloczynu dowolnej funkcji przez jakąkolwiek stałą równa jest iloczynowi całki tej funkcji przez tę stałą,
** całka funkcji od ''a'' do ''b'' zsumowana z całką tej funkcji od ''b'' do ''c'' (gdzie ''a'' < ''b'' < ''c'') da w wyniku całkę od ''a'' do ''c''.
* Jeśli funkcje ''f'' i ''g'' są całkowalne (w dowolnym sensie) oraz jeśli ''f''(''x'') ≤ ''g''(''x'') dla wszystkich ''x'' ∈(''a''; ''b''), to analogiczna nierówność zachodzi dla całek oznaczonych obu funkcji.
* Wartość bezwzględna całki z dowolnej funkcji jest nie większa od całki z wartości bezwzględnej tej funkcji.
 
Całkę oznaczoną funkcji ''f'', przyjmującej w przedziale [''a'', ''b''] wartości nieujemne, można interpretować jako pole zawarte między wykresem tej funkcji, osią ''x'' oraz dwiema prostymi wystawionymi w punktach ''a'' i ''b''.
 
== Zobacz też ==
* [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki|przegląd zagadnień z zakresu matematyki]],
* [[całka]].
 
[[Kategoria:Całki]]