Mediana: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m →Zobacz też: zbedne |
int., drobne merytoryczne |
||
Linia 1:
{{Definicja|W danym szeregu uporządkowanym liczba, która jest w połowie szeregu w wypadku nieparzystej liczby elementów. Dla parzystej liczby elementów – średnia arytmetyczna dwóch środkowych liczb.}}
'''Mediana''' (zwana też '''wartością środkową''' lub '''drugim [[kwartyl]]em''') to w [[statystyka|statystyce]] wartość cechy w szeregu uporządkowanym, powyżej i poniżej której znajduje się jednakowa liczba obserwacji. Mediana jest [[kwantyl]]em rzędu 1/2, czyli drugim [[kwartyl]]em. Jest również trzecim kwartylem szóstego rzędu, piątym decylem itd.
Mediana spełnia następujący warunek: jeśli szukamy liczby takiej, że średnia modułów odchyleń wartości dla wszystkich obserwacji od niej byłaby najmniejsza to liczbą tą jest właśnie mediana. Dzięki temu mediana ma interpretację jako optymalne przewidywanie wartości za pomocą jednej liczby, jeśli przyjętą funkcją błędu przewidywania jest moduł odchylenia (różnicy).
Aby obliczyć medianę ze zbioru ''n'' obserwacji, sortujemy je w kolejności od najmniejszej do największej i numerujemy od 1 do ''n''. Następnie, jeśli ''n'' jest nieparzyste, medianą jest wartość obserwacji w środku (czyli obserwacji numer <math>\tfrac{n+1}{2}</math>). Jeśli natomiast ''n'' jest parzyste, wynikiem jest [[średnia arytmetyczna]] między dwiema środkowymi obserwacjami, czyli obserwacją numer <math>\tfrac{n}{2}</math> i obserwacją numer <math>\tfrac{n}{2}+1</math>.
Niekiedy używane są też inne wersje mediany:
* Wersja, w której dla parzystego ''n'' zamiast średniej arytmetycznej losuje się jedną z wartości dla dwóch obserwacji: numer ''n''/2 lub ''n''/2+1. Taka mediana nie wyprowadza wyniku poza zbiór dotychczasowych wartości. Znajduje zastosowanie szczególnie przy obróbce dwubarwnych [[Pixmapa|map bitowych]]. Klasyczna mediana wymagałaby wówczas wprowadzenia obok istniejących kolorów białego i czarnego także koloru szarego.
* '''Mediana ważona''' w której każda obserwacja <math>a_i</math> ma przypisaną wagę <math>w_i</math>. Jeśli <math>w_i</math> są liczbami naturalnymi, jej obliczenie sprowadza się do obliczenia klasycznej mediany, w której obserwacja <math>a_i</math> jest wzięta pod uwagę <math>w_i</math> razy.
* Przyjąć można również, iż jeśli ''n'' jest parzyste to medianą może być równie dobrze każda liczba z przedziału od wartości dla obserwacji numer ''n''/2 do wartości obserwacji ''n''/2+1. Każda z tych liczb spełnia bowiem warunek minimalizacji średniej z modułów odchyleń.
Mediana znalazła szerokie zastosowanie w statystyce jako [[średnia]] znacznie bardziej odporna na [[Obserwacja odstająca|elementy odstające]] niż [[średnia arytmetyczna]]. Używana jest także w [[grafika komputerowa|grafice komputerowej]] i [[cyfrowe przetwarzanie sygnałów|cyfrowym przetwarzaniu sygnałów]] w celu odszumiania - na obrazie zachowuje ona ostre krawędzie przy jednoczesnym usunięciu szumów.
|