Wzór Herona: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Anulowanie wersji nr 24047201 autora 212.182.71.6 |
Wycofano ostatnie 3 zmiany (zrobione przez 212.182.71.6 oraz Mpn) i przywrócono wersję 23961187 autorstwa 156.17.86.7 |
||
Linia 5:
<center><math>S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{4}</math></center>
== Dowód ==
W dowodzie wykorzystamy inny wzór na pole [[trójkąt]]a:
<math>S=\frac{1}{2}\ bc\sin{\alpha}</math>
W tym celu, korzystając z [[twierdzenie cosinusów|twierdzenia cosinusów]], wyznaczmy wartość kwadratu cosinusa kąta <math>\alpha</math>.
<math>\cos^2{\alpha}=\left(\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}\right)^2=\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2</math>
Korzystając z [[jedynka trygonometryczna|jedynki trygonometrycznej]] i przekształceń algebraicznych otrzymujemy:
<math>\sin^2{\alpha}=1-\cos^2{\alpha}=1-\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2=</math><br />
<math>=\left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)\left(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)=</math><br />
<math>=\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{2bc-b^2-c^2+a^2}{2bc}= \frac{(b+c)^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{a^2-(b-c)^2}{2bc}=</math><br />
<math>=\frac{(b+c+a)(b+c-a)}{2bc}\cdot\frac{(a+b-c)(a-b+c)}{2bc}</math>
<math>p\,</math> oznacza połowę obwodu trójkąta, więc:<br /><br />
<math>b+c+a=2p\,</math><br />
<math>a+b-c=2p-2c=2(p-c)\,</math><br />
<math>a-b+c=2p-2b=2(p-b)\,</math><br />
<math>b+c-a=2p-2a=2(p-a)\,</math><br /><br />
<math>\sin^2{\alpha}=\frac{2p\cdot 2(p-a)}{2bc}\cdot\frac{2(p-c)\cdot 2(p-b)}{2bc}=
\frac{4}{b^2 c^2}\ p(p-a)(p-b)(p-c)</math><br />
<math>\sin{\alpha}=\frac{2}{bc}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>
<br /><br />
Podstawiając otrzymany wynik do wymienionego na początku wyrażenia, otrzymujemy wzór Herona.
<math>S=\frac{1}{2}\ bc\sin{\alpha}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>
== Postać wyznacznikowa ==
| |||