Równanie Lotki-Volterry: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m robot dodaje: ru:Модель Лотки — Вольтерра |
m Wspomagane przez bota ujednoznacznienie (tyle do zrobienia): Stężenie; zmiany kosmetyczne |
||
Linia 1:
[[
[[
[[
'''Równanie Lotki-Volterry''' znane też jako ''model Lotki-Volterra'' lub ''model drapieżnik-ofiara'' to nieliniowe [[równanie różniczkowe]] pierwszego stopnia.
Poniższy model został zaproponowany w [[1926]] przez [[Vito Volterra|Vito Volterrę]] do opisu populacji ryb odławianych w [[Morze Adriatyckie|Morzu Adriatyckim]]. Niezależnie od Volterry równoważne równania do opisu oscylacji [[
Równanie Lotki-Voltery stanowi model [[układ dynamiczny|układów dynamicznych]] występujących w [[ekosystem]]ach (np. w symulacji zachowania populacji ofiar i drapieżników).
== Podstawowy model ==
Równanie zaproponowane przez autorów ma postać:
Linia 26:
d - częstość umierania drapieżników lub współczynnik ubywania drapieżników,
Bardzo często do dalszej analizy własności tych równań przeprowadza się ich ubezwymiarowienie za pomocą następujących podstawień: <br />
<math>u(\tau)=\frac{cx(t)}{d}</math>, <math>v(\tau)=\frac{by(t)}{a}</math>, <math>\tau=at</math>, <math>\alpha=\frac{d}{a}</math> <br />
Powyższe podstawienie prowadzi do następującego układu równań, który zależy już tylko od jednego parametru <math>\alpha</math>:
:<math>\frac{du}{d\tau}=u(1-v)</math>
Linia 33:
[[punkt krytyczny|Punkty krytyczne]] tego układu to <math>(0,0)</math> oraz <math>(1,1)</math>. Dalsza liniowa analiza prowadzi do wniosku, że punkt <math>(0,0)</math> jest punktem siodłowym, zaś <math>(1,1)</math> to centrum stabilne w sensie Lapunowa.
== Uogólniony model Lotki-Volterry ==
Model Lotki-Volterry można uogólnić na większą ilość (<math>N</math>) oddziałujących ze sobą populacji. Wtedy otrzymamy następujący układ równań:
: <math>\frac{dx_i}{dt} = (a_i - \sum_{j=1}^{N}{b_ij y_j})x_i</math>
Linia 40:
gdzie parametry <math>a_i, b_{ij}, c_{ij}, d_i</math> mają analogiczne znaczenie jak w modelu dwuwymiarowym.
== Realistyczny model drapieżnik-ofiara ==
Główną wadą podstawowego modelu Lotki-Volterry jest fakt, że przy zerowej populacji drapieżników liczebność ofiar wzrasta nieograniczenie. Dlatego też w bardziej realistycznych modelach opisujących to zjawisko wprowadza się chociażby pojemność środowiska <math>K</math> - czyli liczbę osobników jaką może maksymalnie osiągnąć dana populacja. Przykładowe równania uwzględniające ten czynnik wyglądają następująco:
: <math>\frac{dx}{dt} = x\left(r\left(1-\frac{x}{K}\right)-\frac{ky}{x+D}\right)</math>
Linia 47:
<math>D, h, s</math> to nieujemne stałe zależne od modelu.
== Modyfikacje modelu Lotki-Volterry ==
[[
W wyjściowym modelu wpływ na tempo wzrostu populacji mają tylko współczynniki umieralności i narodzin ofiar i drapieżników, podczas gdy w rzeczywistości na proces ten wpływa o wiele więcej czynników, np. konkurencja. Model można zmodyfikować o wpływ konkurencji o pożywienie na tempo wzrostu obu populacji. W efekcie otrzymujemy:
: <math>\frac{dx}{dt} = (a - by)x - ex</math>
Linia 61:
gdzie g i h są współczynnikami umieralności związanej z przepełnieniem obszaru, na którym żyją oba gatunki.
== Literatura ==
V. Volterra. Variations and fluctuations of the number of indviduals in animal species living together. In Animal Ecology. McGraw-Hill, 1931. Translated from 1928 edition by R. N. Chapman.
| |||