Domknięcie (topologia): Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Anulowanie wersji nr 21999344 autora Konradek |
m poprawa linków |
||
Linia 3:
== Definicja ==
Niech <math>(X, \tau)</math> będzie [[przestrzeń topologiczna|przestrzenią topologiczną]]. '''Domknięciem zbioru''' <math>A \subseteq X</math> nazywamy najmniejszy w sensie inkluzji [[zbiór domknięty]], oznaczany <math>\overline A</math> lub <math>\operatorname{cl}\;A</math>
: <math>\operatorname{cl}\;A = \bigcap \{F \subseteq X\colon A \subseteq F \and X \setminus F \in \tau\}</math>.
Linia 22:
* <math>A \subseteq \operatorname{cl}\;A</math>,
* <math>\operatorname{cl}(A \cup B) = \operatorname{cl}\;A \cup \operatorname{cl}\;B</math>,
* <math>\operatorname{cl}(\operatorname{cl}\;A) = \operatorname{cl}\;A</math> ([[
=== Dalsze własności ===
Linia 33:
* Jeśli <math>(A_i)_{i\in I}</math> jest [[rodzina lokalnie skończona|rodziną lokalnie skończoną]] podzbiorów zbioru <math>X</math>, to<br /><math>\quad \bigcup_{i \in I}~\operatorname{cl}\;A_i = \operatorname{cl}\;\bigcup_{i \in I}~A_i</math>.
* Domknięcie zbioru jest [[suma zbiorów|sumą mnogościową]] tego zbioru oraz jego [[Brzeg (matematyka)|brzegu]].
* Jeśli <math>Y</math> jest [[
* Dla każdego <math>A \subset X</math> mamy: <math>\operatorname{cl}\; A = X \setminus \operatorname{Int}\; (X \setminus A)</math>.
Linia 43:
* W topologii dyskretnej (czyli takiej, w której każdy zbiór jest otwarty) domknięciem dowolnego zbioru jest on sam.
* W topologii euklidesowej, na [[liczby rzeczywiste|prostej rzeczywistej]] domknięciem
** przedział]]u [[
** zbioru [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] i [[liczby niewymierne|liczb niewymiernych]] jest <math>\mathbb R</math>.
* W [[przestrzeń metryczna|przestrzeniach metrycznych]], domknięcie danego zbioru stanowią wszystkie [[granica ciągu|granice]] [[ciąg (matematyka)|ciągów]] elementów tego zbioru.
Linia 53:
* [[pochodna zbioru]],
* [[wnętrze (matematyka)|wnętrze zbioru]].
== Literatura ==
| |||