Ekstremum funkcji: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięte 1912 bajtów ,  9 lat temu
uo
(yjf)
(uo)
W dalszej części sekcji rozważane będą funkcje <math>f\colon [a,b] \to \mathbb R</math> [[funkcja ciągła|ciągłe]] oraz [[funkcja różniczkowalna|różniczkowalne]] w przedziale <math>(a,b).\,</math>
Geometrycznie oznacza to, że ich wykres jest "nieprzerwany" i "gładki", czyli ma w każdym punkcie [[styczna|styczną]].
 
==== Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego (twierdzenie Fermata) ====
[[Plik:Extrema2.gif|thumb|250px|Funkcja <math>\scriptstyle{g(x)=x^3}</math> nie ma dla <math>x=0\,</math> ekstremum lokalnego, mimo że jej pochodna w tym punkcie jest równa zero]]
[[warunek konieczny|Warunkiem koniecznym]] istnienia ekstremów lokalnych funkcji <math>f\,</math> w pewnym punkcie <math>x_0\in (a,b)</math> jest
: <math>f^\prime (x_0)=0</math>
Geometrycznie oznacza to, że [[styczna]] do [[wykres funkcji|wykresu funkcji]] jest w tym punkcie prostą poziomą. Jest to tzw. '''twierdzenie Fermata'''. Udowodnijmy je:
 
jeśli <math>\ f</math>&nbsp; ma w punkcie <math>x_0\,</math> ekstremum lokalne, to istnieje takie&nbsp; <math>\ \epsilon > 0</math>,&nbsp; że dla każdej liczby rzeczywistej <math>\ h</math>, &nbsp;spełniającej <math>\ 0 < |h| < \epsilon</math>,&nbsp; zachodzi:
 
:: <math>(f(x_0-h) - f(x_0)) \cdot (f(x_0+h) - f(x_0)) \;\ge\; 0</math>
 
a więc:
 
:: <math>\frac{f(x_0-h) - f(x_0)}{-h} \cdot \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \;\le\; 0</math>
 
Po przejściu do granicy, dla <math>\ h \rightarrow 0</math>,&nbsp; otrzymujemy:
 
:: <math>(f'(x_0))^2 \;\le\; 0</math>
 
Zatem <math>f'(x_0) =\; 0</math>. ∎
 
Warunek Fermata nie jest jednak [[warunek wystarczający|wystarczający]]. Np. funkcja <math>g(x)=x^3\,</math> nie ma ekstremum, chociaż jej pochodna <math>g^\prime(x)=3x^2\,</math> zeruje się dla <math>x_0=0.\,</math> Ekstremum może natomiast istnieć w punktach, w których nie istnieje (obustronna) pochodna skończona – funkcja <math>h(x)=x^{\frac{2}{3}}</math> ma na przykład, minimum w punkcie <math>x_0=0,\,</math> podczas gdy jej pochodna lewostronna w tym punkcie równa się <math>-\infty,</math> a prawostronna <math>+\infty.</math> Podobnie funkcja [[wartość bezwzględna]] ma w punkcie <math>x_0=0\,</math> minimum globalne, chociaż w tym punkcie nie jest różniczkowalna.
 
==== Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum lokalnego ====
Anonimowy użytkownik