Własność Banacha-Saksa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Operatory Banacha-Saksa: klarowniej |
zielone linki |
||
Linia 6:
==Własności i przykłady==
* Każda przestrzeń mająca własność Banacha-Saksa jest [[przestrzeń refleksywna|refleksywna]]<ref>T. Nishiura, D. Waterman, ''Reflexivity and summability'' Studia Mathematica, 23 (1963) ss. 53–57</ref>. Istnieją jednak przestrzenie refleksywne, które nie mają tej własności - pierwszy przykład takiej przestrzeni został podany przez Alberta Baernsteina<ref>A. Baernstein II, ''On reflexivity and summability'' Studia Mathematica, 42 (1972) ss. 91–94.</ref>.
* Julian Schreier podał, jako pierwszy, przykład przestrzeni (tzw. [[przestrzeń Schreiera]]), która nie ma słabej własności Banacha-Saksa<ref>J. Schreier, ''Ein Gegenbeispiel zur Theorie der swachen Konvergenz'' Studia Mathematica, 2 (1930) ss. 58–62.</ref>. Udowodnił także, że przestrzeń [[funkcja ciągła|funkcji ciągłych]] na [[
* Pociąg słabego ciągu Banacha-Saksa nie musi być słabym ciągiem Banacha-Saksa.
* <math>\ell^p</math>[[Suma prosta przestrzeni liniowych|-sumy]] przestrzeni o własności Banacha-Saksa nadal mają tę własność<ref>J.R. Partington, ''On the Banach–Saks property'' Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 82 (1977) ss. 369–374.</ref>.
Linia 15:
==Operatory Banacha-Saksa==
[[Operator liniowy ograniczony|Operator ograniczony]] <math>T</math> między przestrzeniami Banacha <math>X</math> i <math>Y</math> nazywany jest (''słabym'') ''operatorem Banacha-Saksa'', jeżeli każdy ograniczony (zbieżny słabo do zera) ciąg <math>(x_n)_n</math> punktów przestrzeni <math>X</math> ma taki podciąg <math>(x_{n_k})_k</math>, że ciąg
:<math>\left(\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k Tx_{n_i}\right)_{k\in\mathbb{N}}</math>
jest zbieżny w przestrzeni <math>Y</math>.
Linia 27:
to istnieje taka podprzestrzeń <math>Y</math> przestrzeni <math>C((\omega^\omega+1))</math>, która jest z nią izomorficzna oraz <math>T</math> zawężony do <math>Y</math> jest [[izomorfizm]]em<ref>J. Bourgain, ''The Szlenk index and operators on C(K)-spaces''. Bull. Soc. Math. Belg. Sér. B 31, 1 (1979), ss. 87–117.</ref>. Operator ograniczony, określony na przestrzeni <math>C(K)</math> (<math>K</math> - [[przestrzeń zwarta|zwarta]] [[przestrzeń Hausdorffa]]) i o wartościach w dowolnej przestrzeni Banacha <math>X</math> jest słabym operatorem Banacha-Saksa wtedy i tylko wtedy jego obraz <math>T(C(K))</math> nie zawiera podprzestrzeni izomorficznej z przestrzenią <math>c_0</math><ref>A. Pełczyński, A. ''On C(S)-subspaces of separable Banach spaces''. Studia Mathematica 31 (1968), ss. 513–522.</ref>. Fakt ten pociąga za sobą, że jeżeli <math>X=T(Y)</math>, to istnieje podprzestrzeń <math>Z</math> obrazu <math>T(Y)</math> komplementarna w <math>C(\omega^\omega+1)</math> i izomorficzna z <math>C(\omega^\omega+1)</math>. Niech <math>W=T^{-1}[Z]</math>,
:<math>P\colon C(\omega^\omega+1)\to Z</math>
będzie [[
:<math>S\colon C(\omega^\omega+1)\to Z</math>
będzie izomorfizmem oraz
| |||