Własność Banacha-Saksa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m drobne redakcyjne |
drobne redakcyjne |
||
Linia 1:
{{Propozycja Dobrego Artykułu}}<!-- wprowadzenie: dlaczego własność ta jest interesująca i jaka stoi za nią intuicja -->
'''Własność Banacha-Saksa'''
: <math>\left(\frac{x_{n_1} + \
jest [[granica ciągu|zbieżny]] (w sensie normy). Ciągi o powyższej własności nazywa się ''ciągami Banacha-Saksa''.
jest [[granica ciągu|zbieżny]] (w sensie normy). Ciągi mające powyższą własność nazywane są ''ciągami Banacha-Saksa''. Nazwa pojęcia pochodzi o nazwisk polskich matematków, [[Stefan Banach|Stefana Banacha]] i [[Stanisław Saks|Stanisława Saksa]], którzy rozszerzyli [[Twierdzenie Mazura o domknięciach powłok wypukłych|twierdzenie Mazura]] mówiące, że [[słaba topologia|słaba granica]] ciągu punktów przestrzeni Banacha jest granicą w sensie normy [[kombinacja wypukła|kombinacji wypukłych]] wyrazów tego ciągu, o możliwość znalezienia w [[przestrzeń Lp|przestrzeni <math>L^p(0,1)</math>]], 1 < ''p'' <∞ takiego ciągu kombinacji wypukłych wyrazów wyjściowego ciągu, który jest dodatkowo sumowalny w sensie Cesàro<ref>S. Banach, S. Saks, ''Sur la convergence forte dans les champs <math>L_p</math>'' Studia Mathematica, 2 (1930) ss. 51–57.</ref>. Wynik ten został jeszcze dalej rozszerzany przez Shizuo Kakutaniego na [[przestrzeń jednostajnie wypukła|przestrzenie jednostajnie wypukłe]]<ref>S. Kakutani, ''Weak convergence in uniformly convex spaces'' Math. Inst. Osaka Imp. Univ. (1938) ss. 165–167.</ref>. [[Wiesław Szlenk]] wprowadził pojęcie ''słabej własności Banacha-Saksa'' zastępując pojęcie ciągu ograniczonego w definicji własności Banacha-Saksa ciągiem [[słaba topologia|słabo zbieżnym]] do zera oraz udowodnił, że przestrzeń <math>L^1(0,1)</math> ma tę własność<ref>W. Schlenk, ''Sur les suites faiblement convergents dans l'espace <math>L</math>'' Studia Mathematica, 25 (1969) ss. 337–341.</ref>. Definicja (słabej) własności Banacha-Saksa przenosi się ''[[mutatis mutandis]]'' na podzbiory przestrzeni unormowanych.▼
▲
==Własności i przykłady==▼
* Każda przestrzeń mająca własność Banacha-Saksa jest [[przestrzeń refleksywna|refleksywna]]<ref>T. Nishiura, D. Waterman, ''Reflexivity and summability'' Studia Mathematica, 23 (1963) ss. 53–57</ref>. Istnieją jednak przestrzenie refleksywne, które nie mają tej własności - pierwszy przykład takiej przestrzeni został podany przez Alberta Baernsteina<ref>A. Baernstein II, ''On reflexivity and summability'' Studia Mathematica, 42 (1972) ss. 91–94.</ref>.▼
▲== Własności i przykłady ==
* Julian Schreier podał, jako pierwszy, przykład przestrzeni (tzw. [[przestrzeń Schreiera]]), która nie ma słabej własności Banacha-Saksa<ref>J. Schreier, ''Ein Gegenbeispiel zur Theorie der swachen Konvergenz'' Studia Mathematica, 2 (1930) ss. 58–62.</ref>. Udowodnił także, że przestrzeń [[funkcja ciągła|funkcji ciągłych]] na [[Liczby porządkowe|liczbie porządkowej]] <math>\omega^\omega+1</math> również nie ma tej własności.▼
▲* Każda przestrzeń mająca własność Banacha-Saksa jest [[przestrzeń refleksywna|refleksywna]]<ref>T. Nishiura, D. Waterman, ''Reflexivity and summability'' Studia Mathematica, 23 (1963) ss. 53–57</ref>
* Podciąg słabego ciągu Banacha-Saksa nie musi być słabym ciągiem Banacha-Saksa.▼
▲* Julian Schreier podał
* <math>\ell^p</math>[[Suma prosta przestrzeni liniowych|-sumy]] przestrzeni o własności Banacha-Saksa nadal mają tę własność<ref>J.R. Partington, ''On the Banach–Saks property'' Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 82 (1977) ss. 369–374.</ref>.▼
▲* Podciąg słabego ciągu Banacha-Saksa nie musi być słabym ciągiem Banacha-Saksa.<!-- przykład -->
* Istnieje przestrzeń <math>X</math> o własności Banacha-Saksa dla której przestrzeń <math>L^2(E)</math> (funkcji całkowalnych z kwadratem [[całka Bochnera|w sensie Bochnera]]) nie ma tej własności<ref>S. Guerre, ''La propriété de Banach–Saks ne pase pas de <math>E</math> à <math>L^2(E)</math>, d'áprés J. Bourgin'' Sem. Anal. Fonctionnelle Ecole Polytechn. Palaiseau (1979–1980) s. 8</ref>.▼
▲* <math>\ell^p</math>[[Suma prosta przestrzeni liniowych|-sumy]] przestrzeni
* Każdy ograniczony ciąg punktów przestrzeni Banacha zawiera podciąg o tej własności, że każdy podciąg tego ciągu jest ciągiem Banacha-Saksa bądź żaden nie jest ciągiem Banacha-Saksa.▼
▲* Istnieje przestrzeń <math>X</math>
▲* Każdy ograniczony ciąg punktów przestrzeni Banacha zawiera podciąg o tej własności, że każdy podciąg tego ciągu jest ciągiem Banacha-Saksa, bądź żaden nie jest ciągiem Banacha-Saksa.
* Obraz [[ścisła addytywność miar wektorowych|ściśle addytywnej]] [[miara wektorowa|miary wektorowej]] ma własność Banacha-Saksa<ref>J. Diestel, C.J. Seifert, ''An averaging property of the range of a vector measure'', [[Bulletin of the American Mathematical Society]], 82 (1976), ss. 907-909.</ref><ref>R. Anantharaman, ''The range of a vector measure has the Banach-Saks property'' [[Proceedings of the American Mathematical Society]] 66 (1977), ss. 183-184 [http://www.ams.org/journals/proc/1977-066-01/S0002-9939-1977-0480931-4/S0002-9939-1977-0480931-4.pdf].</ref>.
* Jeżeli <math>X</math> jest taką przestrzenią Banacha, że jej [[przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)|przestrzeń sprzężona]] <math>X^*</math> jest [[przestrzeń jednostajnie wypukła|jednostajnie wypukła]], to <math>X</math> ma własność Banacha-Saksa<ref>N. Okada, ''On the Banach-Saks property'' Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. Volume 60, Number 7 (1984), ss. 246-248. [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.pja/1195515020]</ref>.
== Operatory Banacha-Saksa ==
[[Operator liniowy ograniczony|Operator ograniczony]] <math>T</math> między przestrzeniami Banacha <math>X</math> i <math>Y</math> nazywany jest
: <math>\left(\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k Tx_{n_i}\right)_{k\in\mathbb{N}}</math>
jest zbieżny w przestrzeni <math>Y</math>. Operator <math>T</math> nazywa się ''słabym operatorem Banacha-Saksa'', jeśli w powyższym warunku zastąpić warunek ograniczoności ciągu <math>(x_n)_n</math> warunkiem słabej zbieżności do zera.
Klasa operatorów Banacha-Saksa <math>\mathcal{BS}</math> tworzy niesymetryczny, domknięty [[ideał operatorowy]]. W szczególności rodzina operatorów Banacha-Saksa <math>\mathcal{BS}(E)</math> na przestrzeni Banacha <math>E</math> tworzy domknięty [[ideał (teoria pierścieni)|ideał]] [[algebra Banacha|algebry]] <math>\mathcal{B}(E)</math> operatorów ograniczonych na <math>E</math> (analogicznie
===Ideał słabych operatorów Banacha-Saksa na ''C''(''ω''<sup>''ω''</sup>+1)===▼
▲=== Ideał słabych operatorów Banacha-Saksa na ''C''(''ω''<sup>''ω''</sup>+1) ===
Ideał <math>\mathcal{WBS}(C(\omega^\omega+1))</math> jest [[ideał maksymalny|ideałem maksymalnym]] w algebrze <math>\mathcal{B}(C(\omega^\omega+1))</math>. Jeżeli
: <math>T\in \mathcal{B}(C(\omega^\omega+1)) \setminus \mathcal{WBS}(C(\omega^\omega+1))</math>,
to istnieje taka podprzestrzeń <math>Y</math> przestrzeni <math>C((\omega^\omega+1))</math>, która jest z nią izomorficzna oraz <math>T</math> zawężony do <math>Y</math> jest [[izomorfizm]]em<ref>J. Bourgain, ''The Szlenk index and operators on C(K)-spaces''. Bull. Soc. Math. Belg. Sér. B 31, 1 (1979), ss. 87–117.</ref>. Operator ograniczony, określony na przestrzeni <math>C(K)</math> (gdzie <math>K</math>
:<math>P\colon C(\omega^\omega+1)\to Z</math>
będzie [[Rzut (algebra liniowa)|rzutowaniem]] na <math>Z</math>,
Linia 31 ⟶ 32:
będzie izomorfizmem oraz
:<math>J\colon T\to C(\omega^\omega+1)</math>
będzie operatorem [[podzbiór#Zawieranie|inkluzji]].
▲:[[Plik:Weak-Banach-Saks.png|340px|]]
a zatem operator <math>T</math> faktoryzuje się poprzez identyczność przestrzeni <math>C(\omega^\omega+1)</math> (tzn. operator tożsamościowy należy do ideału generowanego przez <math>T</math>), co implikuje, że ideał <math>\mathcal{WBS}(C(\omega^\omega+1))</math> jest jedynym ideałem maksymalnym w <math>\mathcal{B}(C(\omega^\omega+1))</math>.
| |||