Własność Banacha-Saksa: Różnice pomiędzy wersjami

'''Własność Banacha-Saksa''' – własność [[przestrzeń unormowana|przestrzeni unormowanej]] polegająca na tym, że każdy [[funkcja ograniczona|ograniczony]] [[ciąg (matematyka)|ciąg]] jej punktów ma [[podciąg]] zbieżny według średniej ([[ciąg sumowalny w sensie Cesàro|sumowalny w sensie Cesàro]]), tzn. jeżeli dla każdego ograniczonego ciągu <math>(x_n)_n</math> jej punktów istnieje podciąg <math>(x_{n_k})_k</math> o tej własności, że ciąg

jest [[granica ciągu|zbieżny]] (w sensie normy). Ciągi mające powyższą własność nazywane są ''ciągami Banacha-Saksa''. Nazwa pojęcia pochodzi o nazwisk polskich matematków, [[Stefan Banach|Stefana Banacha]] i [[Stanisław Saks|Stanisława Saksa]], którzy rozszerzyli [[Twierdzenie Mazura o domknięciach powłok wypukłych|twierdzenie Mazura]] mówiące, że [[słaba topologia|słaba granica]] ciągu punktów przestrzeni Banacha jest granicą w sensie normy [[kombinacja wypukła|kombinacji wypukłych]] wyrazów tego ciągu, o możliwość znalezienia w [[przestrzeń Lp|przestrzeni <math>L^p(0,1)</math>]], 1 < ''p'' <∞ takiego ciągu kombinacji wypukłych wyrazów wyjściowego ciągu, który jest dodatkowo sumowalny w sensie Cesàro<ref>S. Banach, S. Saks, ''Sur la convergence forte dans les champs <math>L_p</math>'' Studia Mathematica, 2 (1930) ss. 51–57.</ref>. Wynik ten został jeszcze dalej rozszerzany przez Shizuo Kakutaniego na [[przestrzeń jednostajnie wypukła|przestrzenie jednostajnie wypukłe]]<ref>S. Kakutani, ''Weak convergence in uniformly convex spaces'' Math. Inst. Osaka Imp. Univ. (1938) ss. 165–167.</ref>. [[Wiesław Szlenk]] wprowadził pojęcie ''słabej własności Banacha-Saksa'', zastępując pojęcie ciągu ograniczonego w definicji własności Banacha-Saksa ciągiem [[słaba topologia|słabo zbieżnym]] do zera oraz udowodnił, że przestrzeń <math>L^1(0,1)</math> ma tę własność<ref>W. Schlenk, ''Sur les suites faiblement convergents dans l'espace <math>L</math>'' Studia Mathematica, 25 (1969) ss. 337–341.</ref>. Definicja (słabej)obydwu tych własności Banacha-Saksa przenosi się ''[[mutatis mutandis]]''analogicznie na podzbiory przestrzeni unormowanych.

* Istnieje przestrzeń <math>X</math> o własności Banacha-Saksa dla której przestrzeń <math>L^2(E)</math> (funkcji całkowalnych z kwadratem [[całka Bochnera|w sensie Bochnera]] określonych na <math>E</math>) nie ma tej własności<ref>S. Guerre, ''La propriété de Banach–Saks ne pase pas de <math>E</math> à <math>L^2(E)</math>, d'áprés J. Bourgin'' Sem. Anal. Fonctionnelle Ecole Polytechn. Palaiseau (1979–1980) s. 8</ref>.