Własność Banacha-Saksa: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
poprawa linków
Linia 6:
== Twierdzenia i przykłady ==
* Każda przestrzeń mająca własność Banacha-Saksa jest [[przestrzeń refleksywna|refleksywna]]<ref>T. Nishiura, D. Waterman, ''Reflexivity and summability'' Studia Mathematica, 23 (1963) ss. 53–57</ref>. Istnieją jednak przestrzenie refleksywne, które nie mają tej własności – pierwszy przykład takiej przestrzeni został podany przez Alberta Baernsteina<ref>A. Baernstein II, ''On reflexivity and summability'' Studia Mathematica, 42 (1972) ss. 91–94.</ref>.
* [[Julian Schreier]] podał, jako pierwszy, przykład przestrzeni (tzw. [[przestrzeń Schreiera]]), która nie ma słabej własności Banacha-Saksa<ref>J. Schreier, ''Ein Gegenbeispiel zur Theorie der swachen Konvergenz'' Studia Mathematica, 2 (1930) ss. 58–62.</ref>. Udowodnił także, że przestrzeń [[funkcja ciągła|funkcji ciągłych]] na [[Liczby porządkowe|liczbie porządkowej]] <math>\omega^\omega+1</math> również nie ma tej własności.
* Podciąg ciągu Banacha-Saksa nie musi być ciągiem Banacha-Saksa - ciąg <math>x=(0,1,0,1,...)</math>, będący elementem przestrzeni <math>\ell^\infty</math> jest ciągiem Banacha-Saksa ponieważ ma on podciąg (0,0,0,...) (ciąg zerowy jest sumowalny w sensie Cesàro) - z drugiej strony, każdy podciąg podciągu o wyrazach stale równych 1 ma nadal wszystkie wyrazy stale równe 1, a więc podciąg (1,1,1,...) nie jest ciągiem Banacha-Saksa.
* <math>\ell^p</math>[[Suma prosta przestrzeni liniowych|-sumy]] przestrzeni o własności Banacha-Saksa nadal mają tę własność<ref>J.R. Partington, ''On the Banach–Saks property'' Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 82 (1977) ss. 369–374.</ref>.
* Istnieje przestrzeń <math>X</math> o własności Banacha-Saksa dla której przestrzeń <math>L^2(E)</math> (funkcji całkowalnych z kwadratem [[całka Bochnera|w sensie Bochnera]] określonych na <math>E</math>) nie ma tej własności<ref>S. Guerre, ''La propriété de Banach–Saks ne pase pas de <math>E</math> à <math>L^2(E)</math>, d'áprés J. Bourgin'' Sem. Anal. Fonctionnelle Ecole Polytechn. Palaiseau (1979–1980) s. 8</ref>.
* Każdy ograniczony ciąg punktów przestrzeni Banacha zawiera podciąg o tej własności, że każdy podciąg tego ciągu jest ciągiem Banacha-Saksa bądź żaden nie jest ciągiem Banacha-Saksa.
* [[obraz (matematyka)|Obraz]] [[ścisła addytywność miar wektorowych|ściśle addytywnej]] [[miara wektorowa|miary wektorowej]] ma własność Banacha-Saksa<ref>J. Diestel, C.J. Seifert, ''An averaging property of the range of a vector measure'', [[Bulletin of the American Mathematical Society]], 82 (1976), ss. 907–909.</ref><ref>R. Anantharaman, ''The range of a vector measure has the Banach-Saks property'' [[Proceedings of the American Mathematical Society]] 66 (1977), ss. 183–184 [http://www.ams.org/journals/proc/1977-066-01/S0002-9939-1977-0480931-4/S0002-9939-1977-0480931-4.pdf].</ref>.
* Jeżeli <math>X</math> jest taką przestrzenią Banacha, że jej [[przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)|przestrzeń sprzężona]] <math>X^*</math> jest [[przestrzeń jednostajnie wypukła|jednostajnie wypukła]], to <math>X</math> ma własność Banacha-Saksa<ref>N. Okada, ''On the Banach-Saks property'' Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. Volume 60, Number 7 (1984), ss. 246–248. [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.pja/1195515020]</ref>.
* [[Przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)|Przestrzeń sprzężona]] do [[przestrzeń Schlumprecht|przestrzeni Schlumprechta]] ma własność Banacha-Saksa<ref>K. Cho, C. Lee, ''Banach-Saks property on the dual of the Schlumprecht space'' Kangweon-Kyungki Math. Jour. 6 (1998), No. 2, ss. 341–348. [http://203.252.84.199/kkms/vol06_2/06222.pdf]</ref>.
Linia 20:
jest zbieżny w przestrzeni <math>Y</math>. Analogicznie definiuje się pojęcie ''słabego operatora Banacha-Saksa'', zastępując warunek ograniczoności ciągu warunkiem słabej zbieżności do zera.
 
Klasa operatorów Banacha-Saksa <math>\mathcal{BS}</math> tworzy niesymetryczny, domknięty [[ideał operatorowy]]. W szczególności rodzina operatorów Banacha-Saksa <math>\mathcal{BS}(E)</math> na przestrzeni Banacha <math>E</math> tworzy [[zbiór domknięty|domknięty]] [[ideał (teoria pierścieni)|ideał]] [[algebra Banacha|algebry]] <math>\mathcal{B}(E)</math> operatorów ograniczonych na <math>E</math> (analogicznie, rodzina <math>\mathcal{WBS}(E)</math>, słabych operatorów Banacha-Saksa na <math>E</math> również tworzy domknięty ideał).
 
=== Ideał słabych operatorów Banacha-Saksa na ''C''(''ω''<sup>''ω''</sup>+1) ===
Linia 35:
: [[Plik:Weak-Banach-Saks.png|340px|]]
 
a zatem operator <math>T</math> faktoryzuje się poprzez [[odwzorowanie tożsamościowe|identyczność]] przestrzeni <math>C(\omega^\omega+1)</math> (tzn. operator tożsamościowy należy do ideału generowanego przez <math>T</math>), co implikuje, że ideał <math>\mathcal{WBS}(C(\omega^\omega+1))</math> jest jedynym [[ideał maksymalny|ideałem maksymalnym]] w <math>\mathcal{B}(C(\omega^\omega+1))</math>.
 
==Własność ''p''-BS i indeks Banacha-Saksa==
Jeżeli ''p'' ≥ 1 jest ustaloną [[liczby rzeczywiste|liczbą rzeczywistą]], to o ciągu ograniczonym <math>(x_n)_n</math> elementów przestrzeni Banacha <math>X</math> mówi się, że jest ''p-BS-ciągiem'', gdy zawiera taki podciąg <math>(x_{n_k})_k</math>, że
:<math>\sup_{m\in \mathbb{N}}\frac{1}{m^{\frac{1}{p}}}\Bigg\|\sum_{i=1}^m x_{n_i}\Bigg\|<\infty.</math>
O przestrzeni Banacha mówi się, że ma ''własność p-BS'' jeżeli każdy ciąg jej elementów zbieżny słabo do 0 zawiera podciąg będący ''p''-BS-ciągiem<ref>E.M. Semenov, F.A. Sukochev, ''The Banach–Saks index'', Mat. Sb., 195:2 (2004), ss. 117–140.</ref><ref>S.V. Astashkin, E.M. Semenov, F.A. Sukochev, ''The Banach-Saks p-property'', Math.