Geometria inwersyjna: Różnice pomiędzy wersjami

Jeśli <math>\scriptstyle \infty</math> jest [[punkt stały|punktem stałym]] danego przekształcenia <math>\scriptstyle T,</math> to punkt <math>\scriptstyle \infty</math> należy do dowolnej prostej <math>\scriptstyle l.</math> Ponieważ <math>\scriptstyle \infty = T(\infty)</math> należy do <math>\scriptstyle T(l),</math> to przekształcenie <math>\scriptstyle T</math> przekształca proste w proste (jest [[kolineacja|kolineacją]]), czylizatem musi być [[przekształcenie afiniczne|przekształceniem afinicznym]]. JakoZ takietego powodu <math>\scriptstyle T</math> można przedstawić jako złożenie [[podobieństwo|podobieństwa]] i [[powinowactwo osiowe|powinowactwa osiowego]]. Ponieważ nieizometryczne powinowactwo osiowe nie zachowuje [[okrąg|okręgów]] (przekształca je na [[elipsa|elipsy]]), to przekształcenie <math>\scriptstyle T</math> zachowujące okręgi uogólnione (proste i okręgi afiniczne) musi być podobieństwem.

Jeżeli <math>\scriptstyle \infty</math> nie jest punktem stałym w przekształceniu <math>\scriptstyle T,</math> to istnieje punkt <math>\scriptstyle \mathrm o,</math> dla którego <math>\scriptstyle T(\mathrm o) = \infty.</math> Niech <math>i_1</math> oznacza inwersję względem [[okrąg jednostkowy|okręgu jednostkowego]] o środku <math>\scriptstyle \mathrm o,</math> wtedy <math>\scriptstyle Ti_1(\infty) = T(\mathrm o) = \infty,</math> co na mocy powyższego rozumowania oznacza, że <math>\scriptstyle Ti_1</math> jest podobieństwem. Podobieństwo to można przedstawić jako złożenie [[izometria|izometrii]] oraz [[jednokładność|jednokładności]] o środku <math>\scriptstyle \mathrm o</math> i skali <math>\scriptstyle k^2,</math> którą można z kolei zapisać jako złożenie dwóch inwersji względem okręgów o wspólnym środku <math>\scriptstyle \mathrm o</math> o promieniach <math>\scriptstyle 1</math> oraz <math>\scriptstyle k.</math> Niech <math>i_k</math> oznacza inwersję względem okręgu o promieniu <math>\scriptstyle k,</math> zaś <math>\scriptstyle I</math> będzie pewną izometrią. Wówczas <math>\scriptstyle Ti_1 = I i_k i_1,</math> czyli <math>\scriptstyle T = I i_k.</math>

Oznacza to, że przekształcenia zachowujące okręgi uogólnione są podobieństwami lub złożeniami izometrii z inwersją. Jeśli takie przekształcenie jest nieizometrycznym podobieństwem (tzn. mającym jeden punkt stały), to można je opisać jako złożenie jednokładności i [[symetria osiowa|symetrii osiowej]] bądź [[obrót|obrotu]]; jednokładność można rozłożyć na złożenie dwóch inwersji, zaś obrót można zapisać jako złożenie dwóch symetrii osiowych. Jeżeli wspomniane przekształcenie jest złożeniem izometrii i inwersji, to każdą izometrię można przedstawić jako złożenie co najwyżej trzech symetrii osiowych. Stąd każde przekształcenie zachowujące okręgi uogólnione jest złożeniem co najwyżej czterech ''symetrii uogólnionych'' (tzn. symetrii osiowych lub inwersji).