Pierścień (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

drobne redakcyjne
(drobne redakcyjne)
(drobne redakcyjne)
{{disambigR|struktury algebraicznej|[[pierścień kołowy]] w geometrii}}
{{spis treści}}
'''Pierścień''' – [[algebra ogólna|struktura]] formalizująca własności algebraiczne [[liczby całkowite|liczb całkowitych]] oraz [[arytmetyka modularna|arytmetyki modularnej]],; intuicyjnie [[zbiór]], którego elementy mogą być bez przeszkód [[dodawanie|dodawane]], [[odejmowanie|odejmowane]] i [[mnożenie|mnożone]], lecz niekoniecznie [[dzielenie|dzielone]]. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. [[liczba pierwsza|liczby pierwsze]] (przez ''[[ideał pierwszy (teoria pierścieni)|ideały pierwsze]]''), [[wielomian]]y, [[ułamek|ułamki]] oraz rozwinięcie teorii [[dzielnik|podzielności]] i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie [[algorytm Euklidesa|algorytmu Euklidesa]] (tzw. ''[[dziedzina Euklidesa|pierścień Euklidesa]]''). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się [[teoria pierścieni|teorią pierścieni]].
 
W literaturze spotyka się rozmaite definicje pierścieni różniące się stopniem uogólnienia. W artykule tym za najogólniejszą przyjmowana jest definicja tzw. ''pierścienia łącznego''. Wnioskom płynącym z zawężenia definicji poprzez wymaganie elementu neutralnego mnożenia bądź warunku przemienności mnożenia również poświęcono osobne artykuły: ''[[pierścień z jedynką]]'', ''[[pierścień przemienny]]''.
 
== Definicja ==
Niech <math>(R, +, \cdot, 0)</math> będzie [[algebra ogólna|algebrą]], w której <math>R</math> jest pewnym niepustym [[zbiór|zbiorem]], symbole <math>+, \cdot</math> oznaczają dwa [[działanie dwuargumentowe|działania dwuargumentowe]] określone w tym zbiorze, a <math>0</math> jest pewnym [[działanie zeroargumentowe|wyróżnionym elementem]]. Algebra ta nazwana jest '''pierścieniem''' (''łącznym''), jeśli:
 
* struktura <math>R^+ = (R, +, 0)</math> jest [[grupa przemienna|grupą abelową]], nazywaną [[grupa addytywna|grupą addytywną]], z działaniem <math>+</math> nazywanym '''dodawaniem''' i [[element neutralny|elementem neutralnym]] <math>0</math> nazywanym '''[[0 (liczba)#Zero w matematyce|zerem]]''':
*: <math>\forall_{a, b, c \in R}\; a + (b + c) = (a + b) + c,</math>,
*: <math>\forall_{a \in R}\; a + 0 = a,</math>,
*: <math>\forall_{a \in R}\; \exists_{b \in R}\; a + b = 0,</math>,
*: <math>\forall_{a, b \in R}\; a + b = b + a;</math>;
* struktura <math>(R, \cdot)</math> jest [[półgrupa|półgrupą]] z działaniem <math>\cdot</math> nazywanym '''mnożeniem''':
*: <math>\forall_{a, b, c \in R}\; a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c;</math>;
* oba działania powiązane są ze sobą prawami [[rozdzielność|rozdzielności]]:
*: <math>\forall_{a, b, c \in R}\; a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c),</math>,
*: <math>\forall_{a, b, c \in R}\; (b + c) \cdot a = (b \cdot a) + (c \cdot a).</math>.
 
Ponieważ <math>R^+</math> jest grupą, to pierścień ma dokładnie jedno zero, a [[Elementelement odwrotny]] do <math>a</math> względem dodawania (element <math>b</math> z trzeciego aksjomatu), nazywanazywany sięw tym kontekście '''elementem przeciwnym''', jest wyznaczony jednoznacznie i oznaczaoznaczany <math>-a.</math>.
 
=== Warianty ===
Na działanie mnożenia nakłada się często dodatkowe warunki regularności precyzując nazwę nowej struktury:
* '''[[pierścień z jedynką]]''' – istnienie [[element neutralny|elementu neutralnego]] mnożenia nazywanego '''[[1 (liczba)#Jeden w matematyce|jedynką]]'''<ref>Niekiedy wymaga się, aby był on różny od elementu neutralnego dodawania wykluczając przy tym przypadek [[pierścień zerowy|pierścienia zerowego]], przybliżając definicję pierścienia do określenia [[ciało (matematyka)|ciała]].</ref>:
*: <math>\exists_{1 \in R}\; \forall_{a \in R}\; a \cdot 1 = 1 \cdot a = a,</math>,
* '''[[pierścień przemienny]]''' – przemienność mnożenia (wówczas prawa rozdzielności stają się sobie równoważne):
*: <math>\forall_{a, b \in R}\; a \cdot b = b \cdot a.</math>.
 
; Uwaga : W pierścieniu z jedynką struktura <math>(R, \cdot, 1)</math> jest [[monoid]]em (przemiennym, jeśli pierścień jest przemienny), wynika stąd, że pierścień może mieć co najwyżej jedną jedynkę.
*: <math>\forall_{a, b \in R \setminus \{0\}}\; a \cdot b \ne 0</math>
* '''[[pierścień z dzieleniem]]''' – dowolny niezerowy element ma [[element odwrotny]] (zakłada się, że pierścień ma jedynkę):
*: <math>\forall_{a \in R \setminus \{0\}}\; \exists_{b \in R}\; a \cdot b = 1,</math>,
 
'''Element odwrotny''' do <math>a</math> (względem mnożenia; <math>b</math> w powyższym aksjomacie) oznacza się zwykle symbolami <math>a^{-1}</math> lub <math>\tfrac{1}{a}</math>.
 
; Uwaga : W ogólności w pierścieniu mogą istnieć [[element odwracalny|elementy odwracalne]], tworzą one grupę nazywaną '''grupąElement elementów odwracalnychodwrotny''', którądo oznacza<math>a</math> się(względem symbolemmnożenia; <math>R^*b</math>. Ww pierścieniupowyższym zaksjomacie) dzieleniemoznacza się zwykle strukturasymbolami <math>(R,a^{-1}</math> \cdot,lub <math>\tfrac{1)}{a}.</math> jestZbiór <math>R^*</math> [[grupaelement (matematyka)odwracalny|grupąelementów odwracalnych]] pierścienia tworzy grupę ze względu na mnożenie (z jedynką jako elementem neutralnym; [[grupa przemienna|przemienną]], jeśli pierścień jest przemienny), którąnazywaną nazywa siętakże '''[[grupa multiplikatywnamultyplikatywna|grupą multiplikatywną]]'''. iW oznaczapierścieniu z dzieleniem jest <math>R^*</math>; oznaczenie= nieR jest\setminus przypadkowe: pokrywa się ona wówczas z grupą elementów odwracalnych\{0\}.</math>
 
Pierścień z jedynką bez dzielników zera nazywa się '''dziedziną'''. Ponieważ własność dzielenia pociąga za sobą brak dzielników zera<ref>Z aksjomatu istnienia elementu odwrotnego wynika, że dla każdego <math>\scriptstyle a \ne 0</math> istnieje element odwrotny <math>\scriptstyle a^{-1}.</math>. Gdyby pierścień miał dzielniki zera, to istniałyby takie <math>\scriptstyle a, b \ne 0,</math>, że <math>\scriptstyle ab = 0.</math>. Lewostronne mnożenie stronami przez <math>\scriptstyle a^{-1}</math> daje <math>\scriptstyle a^{-1}ab = 0;</math>; z istnienia elementu neutralnego mnożenia otrzymuje się sprzeczność z założeniem <math>\scriptstyle b = 0.</math>.</ref>, to każdy pierścień z dzieleniem jest pierścieniem bez dzielników zera, a więc dziedziną. Dziedziny przemienne określa się nazwą '''[[dziedzina całkowitości]]''' (także: '''pierścień całkowity'''; niekiedy nie wyróżnia się nieprzemiennych dziedzin całkowitości, wówczas często skraca się nazwę tej struktury do: ''dziedzina''). Pierścień przemienny z dzieleniem (lub z powyższej obserwacji: dziedzinę całkowitości z dzieleniem) nazywa się '''[[ciało (matematyka)|ciałem]]'''.
 
== Przykłady ==
=== Podpierścienie ===
{{main|podpierścień}}
Podzbiór <math>S</math> pierścienia <math>(R, +, \cdot)</math> nazywa się '''podpierścieniem''', jeżeli jest on zamknięty na działania pierścienia <math>R,</math>, czyli sam tworzy pierścień z działaniami odziedziczonymi z <math>R</math>:
* <math>\forall_{a, b \in S}\; a - b \in S,</math>,
* <math>\forall_{a, b \in S}\; a \cdot b \in S.</math>.
 
Pierwszy warunek oznacza, że <math>(S, +)</math> musi być grupą (przemienną), drugi gwarantuje, że wynik mnożenia elementów z <math>S</math> będzie zawierał się w tym samym zbiorze (tzn. mnożenie jest tam poprawnie określonym [[działanie dwuargumentowe|działaniem wewnętrznym]]).
{{main|ideał (teoria pierścieni)}}
[[Podgrupa|Podgrupę]] <math>I</math> grupy addytywnej pierścienia <math>R</math> nazywa się '''ideałem lewostronnym''', jeżeli dla dowolnych dwóch elementów <math>i \in I</math> oraz <math>r \in R</math> spełniony jest warunek
: <math>r \cdot i \in I.</math>.
 
Jeżeli <math>I</math> spełnia w zamian warunek
: <math>i \cdot r \in I,</math>,
to nazywa się ją '''ideałem prawostronnym'''. Ideał będący zarazem lewo- jak i prawostronny nazywa się krótko '''ideałem'''; pojęcia te pokrywają się w pierścieniach przemiennych. Każdy ideał jest podpierścieniem.
 
W dowolnym nietrywialnym pierścieniu <math>R</math> istnieją co najmniej dwa różne ideały: cały pierścień <math>R</math> i podpierścień trywialny <math>\{0\},</math>, nazywa się je ''ideałami trywialnymi'' lub ''niewłaściwymi'', wszystkie pozostałe nazywa się ''ideałami właściwymi''.
 
Ze względu na inne własności wyróżnia się m.in. następujące rodzaje ideałów pierścienia <math>R</math>:
* [[ideał główny]] – generowany przez jeden element pierścienia,
* [[ideał maksymalny]] – zawarty wyłącznie w ideale niewłaściwym <math>R,</math>,
* [[ideał pierwszy]] – taki, że jeśli dany element ideału jest iloczynem dwóch innych, to przynajmniej jeden z nich również należy do ideału.
 
=== Elementy wyróżnione ===
Element <math>a</math> pierścienia <math>R</math> nazywa się
* '''[[dzielnik zera|dzielnikiem zera]]''', gdy istnieje taki niezerowy element <math>b \in R,</math>, że <math>a \cdot b = 0.</math>.
* '''[[idempotentność|idempotentnym]]''', gdy <math>a \cdot a = a.</math>.
* '''[[Element nilpotentny|nilpotentnym]]''', gdy istnieje <math>n \in \mathbb N,</math>, dla którego <math>a^n = 0.</math>.
 
W pierścieniu skończonym (mającym skończenie wiele elementów) każdy element jest odwracalny albo jest dzielnikiem zera.
{{seealso|homomorfizm pierścieni|charakterystyka (algebra)}}
Przekształcenie <math>f: R_1 \to R_2</math> między dwoma pierścieniami zachowujące ich działania, tzn. dla dowolnych elementów <math>a, b \in R_1</math> spełnione są warunki:
* <math>f(a + b) = f(a) + f(b),</math>,
* <math>f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b),</math>,
nazywa się '''homomorfizmem pierścieni'''. Inaczej: jest to [[homomorfizm grupowy|homomorfizm grup]] addytywnych, a przy tym [[półgrupa|homomorfizm półgrup]] multiplikatywnych tych pierścieni.
 
Przekształcenie <math>f: R_1 \to R_2</math> między dwoma pierścieniami z jedynką zachowujące ich działania i jedynkę, tzn. dla dowolnych elementów <math>a,b \in R_1</math> spełnione są warunki:
* <math>f(a + b) = f(a) + f(b),</math>,
* <math>f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b),</math>,
* <math>f(1_{R_1}) = 1_{R_2},</math>,
nazywa się '''homomorfizmem pierścieni z jedynką'''. Inaczej: jest to [[homomorfizm grupowy|homomorfizm grup]] addytywnych, a przy tym [[monoid|homomorfizm monoidów]] multiplikatywnych.
 
== Pierścień ilorazowy ==
{{main|pierścień ilorazowy}}
W dowolnym pierścieniu <math>(R, +, \cdot)</math> [[grupa ilorazowa]] <math>R/I,</math>, gdzie <math>I \subseteq R</math> jest dowolnym [[ideał (teoria pierścieni)|ideałem]] (dwustronnym), jest pierścieniem z [[relacja równoważności#Niezależność|dobrze określonymi]] działaniami dodawania i mnożenia na [[warstwa (teoria grup)|warstwach]]:
* <math>(a + I) + (b + I) = (a + b) + I,</math>,
* <math>(a + I) \cdot (b + I) = (a \cdot b) + I.</math>.
 
Pierścień ten nazywa się '''pierścieniem ilorazowym''' pierścienia <math>R</math> przez ideał <math>I</math> i również oznacza symbolem <math>R/I.</math>.
 
Dodawanie jest dobrze określone z [[Grupa ilorazowa#Definicja|definicji grupy ilorazowej]]. Wystarczy więc dowieść, że iloczyn warstw nie zależy od wyboru [[Relacja równoważności#Klasy abstrakcji|reprezentanta]] mnożonych warstw. Niech dane będą dwie warstwy, każda z nich reprezentowana przez dwa różne elementy: <math>a + I = a' + I</math> oraz <math>b + I = b' + I.</math>. Równość
: <math>(a \cdot b) + I = (a + I) \cdot (b + I) = (a' + I) \cdot (b' + I) = (a' \cdot b') + I</math>
dowodzi, że zmiana reprezentantów nie wpływa na wynik mnożenia, gdyż otrzymuje się tę samą, choć reprezentowaną przez inny element, warstwę.
Anonimowy użytkownik