Miara Lebesgue’a: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
drobne redakcyjne |
m dodanie daty do szablonu |
||
Linia 76:
: Istnieje taki podzbiór <math>T</math> [[zbiór Cantora|zbioru Cantora]] <math>C</math> zawartego w [[przedział jednostkowy|przedziale]] <math>[0,1],</math> że zbiór <math>T + C</math> jest niemierzalny.
[[Stefan Banach]] rozważał problem możliwości rozszerzenia miary Lebesgue'a do rodziny wszystkich podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych bądź znalezienia miary, która zachowa pewne własności miary Lebesgue'a i będzie określona dla każdego podzbioru prostej. W szczególności Banach zadał następujące pytanie{{fakt|data=2011-06}}:
:Czy istnieje przeliczalnie addytywna miara mierząca wszystkie podzbiory <math>\mathbb R</math> znikająca na punktach, tzn. taka, że miara zbioru jednoelementowego jest 0?
W [[1929]] wraz z [[Kazimierz Kuratowski|Kazimierzem Kuratowskim]] wykazał on, że przy założeniu [[hipoteza continuum|hipotezy continuum]] taka miara nie istnieje<ref>[[Stefan Banach]], [[Kazimierz Kuratowski]]: ''[http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/or/or1/or1122.pdf Sur une généralisation du probleme de la mesure]''. „[[Fundamenta Mathematicae]]” 14 (1929), s. 127-131.</ref>. Z drugiej strony, [[Stanisław Ulam]] udowodnił na gruncie teorii ZF z aksjomatem wyboru, że jeżeli istnieje [[liczba mierzalna|liczba rzeczywiście mierzalna]], to istnieje również przedłużenie miary Lebesgue'a do miary określonej na rodzinie wszystkich podzbiorów prostej<ref name=Ulam>{{cytuj pismo |nazwisko =Ulam |imię =Stanisław|autor link=Stanisław Ulam|tytuł =Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre |czasopismo = [[Fundamenta Mathematicae]] |numer =16 |wydanie = |strony =140-150 |rok=1930|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm16/fm16114.pdf }}
| |||