Równanie Lotki-Volterry: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m WPCleaner (v1.09) Naprawa linku do strony ujednoznaczniającej - Punkt krytyczny |
→Realistyczny model drapieżnik-ofiara: Rozwinięcie wątku modelu realistycznego na podstawie Murray'a. |
||
Linia 41:
== Realistyczny model drapieżnik-ofiara ==
[[Plik:wykresruchomy.gif|thumb|Wykres przedstawia zmiany
populacji ofiar i drapieżników w czasie oraz wykres fazowy.]]
[[Plik: wykb.png|thumb|Wykres przedstawia płaszczyznę która
oddziela przestrzeń fazową parametrów a,b i d. Dla punktów
znajdujących się pod płaszczyzną wykresy fazowe dążą do cyklu
stabilnego. Dla punktów powyżej płaszczyzny wykresy fazowe
zdążają do ogniska.]]
[[Plik:cykle.png|thumb|]Przykładowy przekrój dla parametru a =
1,4483, gdzie pokazana jest linia oddzielająca domenę z
rozwiązaniami stabilnymi od tej niestabilnymi, zwaną krzywą
bifurkacyjną. Nad linią punkt przedstawia przykładową kombinację
parametrów b i d dla której mamy trajektorię fazową z punktem
stabilnym. Pod linią punkt przedstawia przykładową kombinację
parametrów b i d dla której mamy trajektorię fazową z punktem
niestabilnym.]]
Główną wadą podstawowego modelu Lotki-Volterry jest fakt, że przy zerowej populacji drapieżników liczebność ofiar wzrasta nieograniczenie. Dlatego też w bardziej realistycznych modelach opisujących to zjawisko wprowadza się chociażby pojemność środowiska <math>K</math> - czyli liczbę osobników jaką może maksymalnie osiągnąć dana populacja. Przykładowe równania uwzględniające ten czynnik wyglądają następująco:
: <math>\frac{dx}{dt} = x\left(r\left(1-\frac{x}{K}\right)-\frac{ky}{x+D}\right)</math>
Linia 46 ⟶ 64:
: <math>\frac{dy}{dt} = y\left(s\left(1-\frac{hy}{x}\right)\right)</math>
<math>D, h, s</math> to nieujemne stałe zależne od modelu.
Często warto zapisać równania w formie bezwymiarowej, by
zmniejszyć liczbę parametrów. Powyższe równania skalujemy
korzystając z następujących podstawień<ref>{{cytuj książkę|tytuł=Mathematical Biology, I: An Introduction|Autor=J.D.Murray|Wydawca=[[Springer]]|Miejsce=[[York]]|Rok=[[2002]]|ISBN=0-387-95223-3}}</ref>:
<math>u(\tau)=\frac{x(t)}{K}</math> , będzie ułamkiem pojemności
środowiska jaki zajmują ofiary, zaś
:<math>v(\tau)=\frac{hy(t)}{K}</math> , określa ułamek pojemności
jaki zajmują drapieżnicy a <math> \tau = rt </math> jest
przeskalowanym czasem.
Parametry egzogeniczne skalujemy w następujący sposób:
<math> a= \frac{k}{hr} </math> , <math> b=\frac{s}{r}</math> ,
<math> d= \frac{D}{K} </math>
Otrzymujemy wtedy przeskalowane równania Lotki-Volterry w
postaci: <math> \frac{du}{d\tau}=u(1-u)-\frac{auv}{u+d}
</math>
:<math> \frac{dv}{d\tau}=bv(1-\frac{v}{u}) </math>
Po przyrównaniu prawych stron powyższych równań do zera i ich
rozwiązaniu uzyskujemy jeden punkt osobliwy w I ćwiartce. Punkt
ten jest stabilny jeśli parametry <math>a,b,d\;</math> spełniają:
<math> b < [a-\{(1-a-d)\}^{\frac{1}{2}} \frac{[1+a+d-\{(1-a-d)^2
+4d\}^{\frac{1}{2}}]}{2a} </math> Jeśli nierówność ta nie
zachodzi to punkt jest niestabilny i z twierdzenia [[ Twierdzenie Poincarego_Bendixona | Poincare'go-Bendixson'a]] można
wnioskować, że istnieje stabilny cykl graniczny w pierwszej
ćwiartce płaszczyzny fazowej<ref>{{cytuj książkę|tytuł=Mathematical Biology, I: An Introduction|Autor=J.D.Murray|Wydawca=[[Springer]]|Miejsce=[[York]]|Rok=[[2002]]|ISBN=0-387-95223-3}}</ref>. Przestrzeń parametrów
<math>(a,b,d)\;</math> jest więc podzielona powierzchnią, pod którą
układ dynamiczny realizuje cykl graniczny (więc populacje
oscylują w czasie). Nad tą powierzchnią układ posiada jedno
nietrywialne rozwiązanie stacjonarne (populację dążą
asymptotycznie do stałych wartości).
== Modyfikacje modelu Lotki-Volterry ==
| |||