Wersja z 08:51, 2 sty 2012 edytuj EmausBot (dyskusja \| edycje) Boty 725 836 edycji m r2.6.4) (Robot poprawił eo:Unuvektoro ← poprzednia edycja		Wersja z 17:28, 2 sty 2012 edytuj anuluj edycję Konradek (dyskusja \| edycje) 12 936 edycji przywrócenie poprzedniej wersji artykułu następna edycja →
Linia 1: {{spis treści}} {{Definicja\|'''Wersor''' to wektor o długości jeden, wskazujący kierunek i zwrot pewnego wektora początkowego, któremu ten wersor przypisujemy. Mnożenie wersora przez długość początkowego wektora odtwarza początkowy wektor.}} '''Wektor jednostkowy''' – w [[algebra liniowa\|algebrze liniowej]] i [[analiza funkcjonalna\|analizie funkcjonalnej]] dowolny [[wektor]] danej [[przestrzeń unormowana\|przestrzeni unormowanej]] <math>(\scriptstyle X, \\|\cdot\\|\displaystyle)</math> o [[jednostka miary\|jednostkowej]] normie; można go rozumieć jako pewien kierunek (wraz ze zwrotem) w przestrzeni, gdyż dla każdego wektora <math>\scriptstyle \mathbf x</math> przestrzeni <math>\scriptstyle X</math> można wskazać wektor jednostkowy <math>\scriptstyle \overset\circ \mathbf x</math> (oznaczany też <math>\scriptstyle \hat \mathbf x</math>) nazywany '''wektorem znormalizowanym''' względem niego, o tym samym kierunku (i zwrocie) co on, mianowicie ~~'''Wersor''' – [[wektor]] [[jednostka miary\|jednostkowy]] (także ''[[przestrzeń unormowana\|unormowany]]'').~~ : <math>x^\overset\circ={ \mathbf x = \~~over~~frac{\mathbf x}{\\|\mathbf x\\|}.</math>.▼ Z tego powodu wektory jednostkowe wykorzystuje się często w [[baza (przestrzeń liniowa)\|bazach]]: przykładowo [[baza ortonormalna\|baza ortogonalna]]<ref>Zob. [[ortogonalność]] i [[forma dwuliniowa#Ortogonalność\|uogólniona ortogonalność]].</ref> złożona z wersorów jest [[baza ortonormalna\|bazą ortonormalną]]. W [[geometria analityczna\|geometrii analitycznej]] ''wektorami osi'' nazywa się wektory o kierunku (i zwrocie) zgodnym z [[oś współrzędnych\|osią]] danego [[układ współrzędnych\|układu współrzędnych]]; jeśli są one jednostkowe nazywa się je często '''wersorami osi'''. Wykazują one pewien związek z ogólnymi wersorami opisanymi w [[#Wersory\|osobnej sekcji]]. == ~~Definicja formalna~~Przykłady == W przypadku trójwymiarowego [[układ współrzędnych kartezjańskich\|układu współrzędnych kartezjańskich]] <math>\scriptstyle (x, y, z)</math> wersory osi oznacza się zwykle jednym z następujących sposobów: <math>\scriptstyle \mathbf i, \mathbf j, \mathbf k,</math> <math>\scriptstyle \mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3,</math> <math>\scriptstyle \mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z,</math> bądź innym (niekiedy dodaje się [[daszek (diakrytyka)\|daszek]] lub [[odwrócony daszek]]); wszystkie one oznaczają odpowiednio wektory <math>\scriptstyle [1, 0, 0],\ [0, 1, 0],\ [0, 0, 1]</math> [[baza standardowa\|bazy standardowej]]. Podobnie wprowadza się wersory osi dla innych układów współrzędnych. Niech <math>(X, \\|\cdot\\|)</math> będzie [[przestrzeń unormowana\|przestrzenią unormowaną]]. '''Wersorem''' niezerowego [[wektor]]a <math>x \in X</math> nazywamy wektor <math>x^\circ \in X</math> taki, że ▲: <math>x^\circ={x \over \\|x\\|}</math>. W [[przestrzeń euklidesowa\|przestrzeni euklidesowej]] <math>\scriptstyle \mathbb R^3</math> ze [[iloczyn skalarny\|standardowym iloczynem skalarnym]] istnieje norma <math>\\|\scriptstyle [x, y, z]\displaystyle\\|\scriptstyle = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}</math> indukowana przez ten iloczyn. Wektorem znormalizowanym wektora <math>\scriptstyle \mathbf x = [2, 3, 6]</math> jest wektor ~~W przestrzeniach współrzędnych wersor danego wektora zachowuje oczywiście jego kierunek oraz zwrot.~~ : <math>\overset\circ \mathbf x = \frac{[2, 3, 6]}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}} = \tfrac{1}{\sqrt{49}} [2, 3, 6] = \left[\tfrac{2}{7}, \tfrac{3}{7}, \tfrac{6}{7}\right].</math> Wektor <math>\scriptstyle \mathbf x</math> można przedstawić za pomocą [[kombinacja liniowa\|kombinacji liniowej]] : <math>\mathbf x = [2, 3, 6] = 2[1, 0, 0] + 3[0, 1, 0] + 6[0, 0, 1] = 2\mathbf i + 3\mathbf j + 6\mathbf k,</math> wektorów bazy standardowej będących wersorami układu współrzędnych kartezjańskich. W [[przestrzeń liniowa\|przestrzeni liniowej]] <math>\scriptstyle \mathbb R_2[X]</math> [[wielomian]]ów [[stopień wielomianu\|stopnia]] co najwyżej drugiego zmiennej [[liczby rzeczywiste\|rzeczywistej]] (zob. [[pierścień wielomianów]]) można określić [[przestrzeń unitarna\|iloczyn skalarny]] wzorem <math>\scriptstyle \langle \mathrm f, \mathrm g \rangle = \int_{-1}^1 f(x) g(x)\ \mathrm dx,</math> gdzie <math>\scriptstyle f</math> jest funkcją wielomianową odpowiadającą wielomianowi <math>\scriptstyle \mathrm f.</math> Czyni on z tej przestrzeni przestrzeń euklidesową z normą <math>\scriptstyle \\|\mathrm f\\| = \langle \mathrm f, \mathrm f \rangle^{1/2}.</math> Normalizacja wektora <math>\scriptstyle \mathrm f = X^2 + X + 1</math> daje wektor jednostkowy ~~== Wersor osi ==~~ : <math>\overset\circ \mathrm f = \left(\int_{-1}^1 (x^2 + x + 1)^2\ \mathrm dx\right)^{-\frac 12} \Big(X^2 + X + 1\Big) = \sqrt{\tfrac{5}{22}} \bigl(X^2 + X + 1\bigr).</math> Wersor osi to wersor o kierunku i zwrocie zgodnymi z pewną dodatnią [[oś współrzędnych\|półosią]] [[układ współrzędnych kartezjańskich\|prostokątnego układu współrzędnych]]. Dla osi <math>OX, OY, OZ</math> oznacza się je tradycyjnie na kilka sposobów: * symbolami <math>i, j, k</math> * <math>e_1, e_2, e_3</math> * <math>e_x, e_y, e_z</math> * <math>\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3</math>. == ~~Przykłady~~Wersory == Nazwa „wersor”<ref>[[Łacina\|Łac.]] ''versor''; od [[imiesłów przymiotnikowy\|im.]] ''versus'', „obrócony”; od „vertere”, „obrócić”.</ref> została wprowadzona przez [[William Rowan Hamilton\|Hamiltona]] w stworzonej przez niego teorii [[kwaterniony\|kwaternionów]]. '''Wersorem''' nazywa się w niej dowolny kwaternion o normie jednostkowej ([[wartość bezwzględna\|module]] jednostkowym); każdy z nich jest postaci * Rozważmy [[Przestrzeń euklidesowa\|przestrzeń euklidesową]] <math>\mathbb{R}^3</math> ze zwykłym [[iloczyn skalarny\|iloczynem skalarnym]]. Wersorem wektora <math>\mathbf{x}=\left[\begin{smallmatrix}2\\3\\4\\\end{smallmatrix}\right]</math> jest wektor <math>\mathbf{x}^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2^2+3^2+4^2}}\left[\begin{smallmatrix}2\\3\\4\\\end{smallmatrix}\right]=\left[\begin{smallmatrix}\frac{2}{\sqrt{29}}\\\frac{3}{\sqrt{29}}\\\frac{4}{\sqrt{29}}\\\end{smallmatrix}\right]</math> : <math>e^{a\mathbf r} = \cos a + \mathbf r\sin a, \quad\mbox{gdzie }\quad \mathbf r^2 = -\mathbf 1 \;\mbox{ oraz }\; a \in [0, \pi).</math> * Rozważmy przestrzeń <math>\mathbb{R}_2[X]</math> (przestrzeń [[wielomian]]ów [[stopień wielomianu\|stopnia]] nie większego niż 2 zmiennej [[liczby rzeczywiste\|rzeczywistej]]) z [[iloczyn skalarny\|iloczynem skalarnym]] <math>\langle f, g \rangle = \int\limits_{-1}^1f(x)g(x)dx</math> – jest to przestrzeń euklidesowa z normą <math>\\|f\\|=\sqrt{\langle f, f \rangle}</math>. Wersorem wektora <math>f(X)=X^2+X+1</math> jest wektor Można go postrzegać jako skierowany [[łuk okręgu\|łuk]] [[koło wielkie\|okręgu wielkiego]] o osi (wyznaczonej przez) <math>\scriptstyle \mathbf r</math> i długości <math>\scriptstyle a.</math> W algebrze liniowej, [[geometria\|geometrii]] i [[fizyka\|fizyce]] korzysta się zwykle z wersorów czystych, czyli o zerowej części skalarnej, tzn. takich dla których <math>\scriptstyle a = \pi/2.</math> Podobnie definiuje się '''wersory hiperboliczne''' wprowadzone po raz pierwszy dla [[tessariny\|tessarinów]] przez [[James Cockle\|Cockle'a]], mianowicie ~~: <math>f^{\circ}(X)=\frac{X^2+X+1}{\sqrt{\int\limits_{-1}^1(X^2+X+1)(X^2+X+1)dX}}=\frac{X^2+X+1}{\sqrt{\tfrac{22}{5}}}=\sqrt{\tfrac{5}{22}}X^2+\sqrt{\tfrac{5}{22}}X+\sqrt{\tfrac{5}{22}}</math>~~ : <math>e^{a\mathbf r} = \cosh a + \mathbf r \sinh a, \quad\mbox{gdzie }\quad \mathbf r^2 = +\mathbf 1 \;\mbox{ oraz }\; a \in [0, \pi),</math> które pojawiają się w [[algebra ogólna\|algebrach]] o mieszanej sygnaturze [[tensor metryczny\|tensora metrycznego]], takich jak wspomniane tessariny, [[liczby podwójne]], czy [[kokwaterniony]]. Uogólnieniem wersorów zwyczajnego i hiperbolicznego jest pojęcie [[grupa jednoparametrowa\|grupy jednoparametrowej]] badane po raz pierwszy przez [[Marius Sophus Lie\|Liego]]; w szczególności grupa jednoparametrowa <math>\scriptstyle a \mapsto \exp(a\mathbf r),</math> dla której <math>\scriptstyle \mathbf r^2 = \pm \mathbf 1</math> odwzorowuje [[liczby rzeczywiste\|prostą rzeczywistą]] w grupy wersorów zwyczajnych i hiperbolicznych. W fizycznej [[szczególna teoria względności\|szczególnej teorii względności]] liczbę <math>\scriptstyle a</math> wiąże się z [[pospieszność\|pospiesznością]] obiektu, z kolei działania wersorów hiperbolicznych nazywa się [[transformacja Lorentza#Pchnięcie Lorentza\|pchnięciami Lorentza]]. ~~== Uwagi ==~~ * [[baza ortonormalna\|Baza ortogonalna]] złożona z wersorów jest [[baza ortonormalna\|bazą ortonormalną]]. * W fizyce zamiast <math>x^\circ</math> stosuje się zapis <math>\vec{e}_x</math> lub <math>\hat{x}</math>. == Zobacz też == {{wikisłownik\|wersor}} * [[ortonormalizacja]] * [[ortogonalizacja Grama-Schmidta]] * [[cosinus kierunkowy]] {{przypisy}} [[Kategoria:Algebra liniowa]] [[Kategoria:Analiza funkcjonalna]] [[Kategoria:Geometria analityczna]] [[am:አሃድ ጨረር]]

Wektor jednostkowy: Różnice pomiędzy wersjami