Miara Lebesgue’a: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Własności: - A zawarte w B ma niewieksza miare niz B. Bylo na odwrot. |
m drobne redakcyjne |
||
Linia 98:
Miara borelowska pokrywa się z miarą Lebesgue'a na zbiorach, na których jest określona. Wynika to z faktu, iż σ-ciało <math>\mathfrak L</math> zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a definiuje się jako σ-ciało <math>\mathfrak B</math> [[zbiór borelowski|zbiorów borelowskich]] generowane przez rodzinę [[zbiór otwarty|zbiorów otwartych]] ([[zbiór domknięty|domkniętych]]) za pomocą [[dopełnienie zbioru|dopełnień]] i przeliczalnych [[suma zbiorów|sum]] względem rozpatrywanej przestrzeni ([[przestrzeń topologiczna|topologicznej]]) oraz tworzących σ-[[ideał (teoria mnogości)|ideał]] <math>\mathfrak N</math> ''zbiorów miary zero'', tzn. zbiorów takich, które mogą być pokryte przedziałami o dowolnie małej łącznej objętości.
<!--Formalnie σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue definiuje się jako -->
Pokazać można, że σ-ciało podzbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue przestrzeni <math>\mathbb{R}^n</math>
pokrywa się z rodziną
: <math>\mathfrak L := \bigl\{B \triangle N\colon B \in \mathfrak B \and N \in \mathfrak N \bigr\},</math>
gdzie <math>\triangle</math> oznacza operację [[różnica symetryczna|różnicy symetrycznej]]. Można powiedzieć, że jest to [[rodzina zbiorów]] ''zaniedbywalnie mało'' różniących się od zbiorów borelowskich; dowodzi się również, że zbiory mierzalne w sensie Lebesgue'a z punktu widzenia miary są ''niemal'' [[zbiór otwarty|otwarte]], jak i ''niemal'' [[zbiór domknięty|domknięte]].
Dowodzi się, że <math>\mathfrak L</math> jest najmniejszym (w sensie [[podzbiór|zawierania]]) σ-ciałem zawierającym <math>\mathfrak B</math> oraz <math>\mathfrak N.</math> Ponadto
: <math>\mathfrak L = \big\{G \triangle L\colon L \in \mathfrak L \and G</math> jest [[Zbiór typu G-delta|zbiorem typu G<sub>δ</sub>]]<math>\big\} = \big\{F \triangle L\colon L \in \mathfrak L \and F</math> jest [[Zbiór typu F-sigma|zbiorem typu F<sub>σ</sub>]]<math>\big\}.</math>
Istnieje dużo więcej zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a niż zbiorów mierzalnych borelowsko. Klasa <math>\mathfrak B</math> jest znacznie węższa od klasy <math>\mathfrak L,</math> gdyż przestrzeń <math>\mathbb R^d</math> zawiera zbiory miary zero [[moc zbioru|mocy]] [[continuum]], zaś [[zbiór potęgowy|rodzina wszystkich podzbiorów takiego zbioru]] jest mocy wyższej niż continuum. Ponieważ <math>\mathfrak B</math> jest mocy continuum, to przestrzeń ta zawiera podzbiory nieborelowskie miary zero (podobnie można argumentować, że istnieją zbiory miary zero, które nie są [[zbiór analityczny|analityczne]] czy też koanalityczne).
| |||