Hipersfera: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
popr redir |
nowy zamiast przekierowania |
||
Linia 1:
[[Plik:Sphere wireframe.svg|thumb|220px|Siatka rozpięta na hipersferze dwuwymiarowej w [[Rzut (algebra liniowa)|rzucie ortogonalnym]]]]
[[Plik:Hypersphere.png|right|thumb|220px|Rzut na płaszczyznę siatki rozpiętej na hipersferze trójwymiarowej]]
'''Hipersfera''' w matematyce to uogólnienie klasycznej sfery na dowolną liczbę wymiarów.
== Definicja ==
Dla dowolnej liczby naturalnej ''n'', hipersfera o promieniu ''r'' jest zdefiniowana jako zbiór punktów w przestrzeni euklidesowej (n+1) wymiarowej, które znajdują się w odległości ''r'' od wybranego punktu środkowego '''''c''''', gdzie ''r'' jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, a '''''c''''' to dowolnie wybrany punkt w przestrzeni (n+1)-wymiarowej.
: <math>S^n = \left\{ x \in \mathbb{R}^{n+1} : \|x-c\| = r\right\}.</math>
Jest to n-wymiarowa rozmaitość w (n+1)-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. W szczególności:
* hipersfera 0-wymiarowa to para punktów na końcach [[Odcinek|odcinka]]
* hipersfera 1-wymiarowa to [[okrąg]] na płaszczyźnie
* hipersfera 2-wymiarowa to klasyczna [[sfera]] w przestrzeni 3-wymiarowej
* hipersfera 3-wymiarowa to sfera w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej
Hipersferę o promieniu jednostkowym i środku umieszczonym w początku układu współrzędnych nazywamy '''hipersferą jednostkową''', oznaczaną S<sup>n</sup>. Często terminem ''hipersfera'' określa się właśnie ''hipersferę jednostkową''. Hipersfera n-wymiarowa stanowi brzeg [[kula|kuli]] (n+1)-wymiarowej. Dla ''n'' ≥ 2, hipersfery są [[przestrzeń jednospójna|rozmaitościami jednospójnymi]] o stałej dodatniej krzywiźnie.
=== Współrzędne ===
Zbiór punktów w przestrzeni (n+1)-wymiarowej (''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,…,''x''<sub>''n''+1</sub>), który tworzy hipersferę opisuje równanie
: <math>r^2=\sum_{i=1}^{n+1} (x_i - c_i)^2.\,</math>
gdzie ''c'' to punkt środkowy, a ''r'' to promień.
=== Hiperkula ===
{{Zobacz też|hiperkula}}
Przestrzeń ograniczona przez hipersferę nazywamy (n+1)-wymiarową hiperkulą. Hiperkula jest [[zbiór domknięty|domknięta]] jeśli zawiera hipersferę, lub [[zbiór otwarty|otwarta]] jeśli jej nie zawiera. W szczególności:
* hiperkula 1-wymiarowa to [[odcinek]]
* hiperkula 2-wymiarowa to [[koło]]
* hiperkula 3-wymiarowa to [[kula]]
== Rozmiar ==
=== Objętość wnętrza ===
Ogólny wzór na ''objętość'', a ściślej [[miara Lebesgue'a]] obszaru ograniczanego przez hipersferę (n-1)-wymiarową o promieniu <math>R</math>, który jest [[hiperkula|hiperkulą]] n-wymiarową, ma postać:
: <math>V_n(R) = C_n R^n \,</math>
gdzie <math>C_n</math> jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi
: <math>C_n = \frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}</math>
w którym <math>\Gamma \,</math> to [[funkcja Γ]].
Wzór na współczynnik <math>C_n</math> upraszcza się gdy rozpatruje się oddzielnie wymiary stopni parzystych
: <math>C_{2k} = \frac{\pi^k}{k!} \,</math>
i nieparzystych
: <math>C_{2k+1} = \frac{2^{k+1} \pi^k}{1 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (2k+1)} = \frac{2^{k+1} \pi^k}{(2k+1)!!} \,</math>
{| class="wikitable" style="text-align:right" style="text-align:center"
|+ Zestawienie wartości współczynników <math>C_n</math>
! Wymiar</br>n
! Współczynnik</br><math>C_n</math>
! Dziesiętne</br>przybliżenie
! Klasyczna</br>interpretacja
|-
| 1
| <math>2\,</math>
| 2,00000
| style="text-align:left" | Długość odcinka
|-
| 2
| <math>\pi\,</math>
| 3,14159
| style="text-align:left" | Pole koła
|-
| 3
| <math>\frac43\pi\,</math>
| 4,18879
| style="text-align:left" | Objętość kuli
|-
| 4
| <math>\frac12\pi^2\,</math>
| 4,93480
|
|-
| 5
| <math>\frac8{15}\pi^2\,</math>
| 5,26379
|
|-
| 6
| <math>\frac16\pi^3\,</math>
| 5,16771
|
|-
| 7
| <math>\frac{16}{105}\pi^3\,</math>
| 4,72478
|
|-
| 8
| <math>\frac1{24}\pi^4\,</math>
| 4,05871
|
|}
Rozmiar obszaru ograniczonego hipersferą jednostkową jest największy w przestrzeni 5-wymiarowej. W przestrzeniach o liczbie wymiarów n > 5, rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera w nieskończoności
: <math>\lim_{n \to \infty}V_n = 0~.</math>
=== Powierzchnia ===
Ogólny wzór na ''powierzchnię'' hipersfery (n-1)-wymiarowej można uzyskać obliczając pochodną objętości hiperkuli n-wymiarowej względem promienia
: <math>S_{n-1}(R) = \frac{d}{dR} V_n(R) = \frac{d}{dR} C_n R^n = n C_n R^{n-1} = C^*_{n-1} R^{n-1}</math>
gdzie <math>C^*_{n-1}</math>, podobnie jak dla ''objętości'', jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi
: <math>C^*_{n-1} = n C_n = {n\pi^{\frac{n}{2}} \over \Gamma(\frac{n}{2} + 1)} = {n\pi^{\frac{n}{2}} \over \frac{n}{2} \Gamma(\frac{n}{2})} = {2\pi^{\frac{n}{2}} \over \Gamma(\frac{n}{2})}~.</math>
{| class="wikitable" style="text-align:right" style="text-align:center"
|+ Zestawienie wartości współczynników <math>C^*_{n-1}</math>
! Wymiar</br>n-1
! Współczynnik</br><math>C^*_{n-1}</math>
! Dziesiętne</br>przybliżenie
! Klasyczna</br>interpretacja
|-
| 0
| <math>2\,</math>
| 2,00000
| style="text-align:left" | Liczba punktów tworzących sferę
|-
| 1
| <math>2\pi\,</math>
| 6,28318
| style="text-align:left" | Długość okręgu
|-
| 2
| <math>4\pi\,</math>
| 12,56637
| style="text-align:left" | Powierzchnia kuli
|-
| 3
| <math>2\pi^2\,</math>
| 19,73920
|
|-
| 4
| <math>\frac{8}{3}\pi^2\,</math>
| 26,31894
|
|-
| 5
| <math>\pi^3\,</math>
| 31,00627
|
|-
| 6
| <math>\frac{16}{15}\pi^3\,</math>
| 33,07336
|
|-
| 7
| <math>\frac{1}{3}\,</math>
| 32,46969
|
|}
Wśród hipersfer jednostkowych, największą powierzchnię ma hipersfera 6-wymiarowa (w przestrzeni 7-wymiarowej). Dla hipersfer o wymiarach n > 6 ich rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera, gdy liczba wymiarów rośnie do nieskończoności
: <math>\lim_{n \to \infty}S_n = 0~.</math>
== Współrzędne hipersferyczne ==
Analogicznie do [[układ współrzędnych sferycznych|współrzędnych sferycznych]] w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej definiuje się system współrzędnych hipersferycznych dla dowolnej przestrzeni n-wymiarowej, w których składowymi są promień <math>r\,</math> i (n-1) współrzędnych kątowych <math>\phi _1 , \phi _2 , \dots , \phi _{n-1} \,</math> gdzie <math>\phi_{n-1} \,</math> zawiera się w przedziale <math>[0, 2 \pi) \,</math>, a pozostałe współrzędne kątowe w przedziale <math>[0, \pi] \,</math>.
Jeśli przez <math>x_i</math> oznaczymy współrzędne kartezjańskie to ich wartości można wyznaczyć jako:
: <math>x_1 = r \cos(\phi_1) \,</math>
: <math>x_2 = r \sin(\phi_1) \cos(\phi_2) \,</math>
: <math>x_3 = r \sin(\phi_1) \sin(\phi_2) \cos(\phi_3) \,</math>
::<math>
\begin{align}
{}\,\,\,\vdots\\
\end{align}
</math>
: <math>x_{n-1} = r \sin(\phi_1) \cdots \sin(\phi_{n-2}) \cos(\phi_{n-1}) \,</math>
: <math>x_n = r \sin(\phi_1) \cdots \sin(\phi_{n-2}) \sin(\phi_{n-1}) \,.</math>
== Zobacz też ==
* [[Hipersześcian]]
* [[Rozmaitość]]
== Linki zewnętrzne ==
* [http://www.bayarea.net/~kins/thomas_briggs/ Exploring Hyperspace with the Geometric Product] {{lang|en}}
* {{MathWorld | tytuł = Hypersphere | adres = Hypersphere}}
[[Kategoria:Topologia]]
[[cv:Гиперсфера]]
[[de:Sphäre (Mathematik)]]
[[es:N-esfera]]
[[fr:N-sphère]]
[[ko:초구]]
[[it:Ipersfera]]
[[lv:Hipersfēra]]
[[nl:Sfeer (wiskunde)]]
[[ru:Гиперсфера]]
[[sr:Хиперсфера]]
[[sh:Hipersfera]]
[[th:ทรงกลม n มิติ]]
[[uk:Гіперсфера]]
[[zh:N维球面]]
| |||