Zbiór otwarto-domknięty: Różnice pomiędzy wersjami

'''Zbiór otwarto-domknięty''' – pojęcie w [[topologia|topologicznetopologii]], zbiór wpodzbiór [[przestrzeń topologiczna|przestrzeni topologicznej]], który jest jednocześnie zbiorem [[zbiór otwarty|otwartyotwartym]] i [[zbiór domknięty|domkniętydomkniętym]].

* Niech przestrzeń <math>''X'' = [0,1]\cup ∪ [2,3]</math> będzie wyposażona w topologię [[podprzestrzeń (topologia)|podprzestrzeni]] dziedziczoną z prostej [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]] <math>{\mathbb R}</math>. Wówczas, przestrzeń <math>''X</math>'' ma następujące podzbiory otwarto-domknięte: <math>\emptyset[[zbiór pusty]], ''X'', [0,1], [2,3]</math>.

* Rozważmy zbiór <math>{\mathbb Q}</math> liczb [[liczby wymierne|wymiernych]] z topologią podprzestrzeni przestrzenidziedziczoną <math>{\mathbbz R}</math>prostej rzeczywistej. Wówczas, zbiór <math>A=\{r\in{\mathbb Q}:r^2<2\}</math> jest otwarto-domkniętym podzbiorem <math>{\mathbb Q}</math>. Ogólniej, jeśli <math>''I\subseteq {\mathbb R}</math>'' jest [[przedział (matematyka)|przedziałem]] liczb rzeczywistych o różnych końcach [[liczby niewymierne|niewymiernych]], to <math>I\cap {\mathbb Q}</math> jest otwarto-domkniętym podzbiorem <math>{\mathbb Q}</math> (alemimo, teniż zbiór ten '''nie''' jest ani otwarty ani domknięty wna <math>{\mathbb R}</math>prostej).

* Rodzina <math>{\rm CLOPEN}Clop(''X'')</math> wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni <math>X</math> tworzy [[Ciało zbiorów|ciało podzbiorów]] tej przestrzeni. TakW szczególności, więcstruktura <math>({\rm CLOPENClop}(X),\cup,\cap,{}^\prime,\emptysetvarnothing,X)</math> jest [[algebra Boole'a|algebrą Boole'a]].