Całkowanie przez podstawienie: Różnice pomiędzy wersjami

Poprawa wzorów matematycznych
(Poprawa wzorów matematycznych)
 
Założenia:
* Funkcja ''<math>f''</math> jest całkowalna w swej dziedzinie.
* Funkcja ''<math>g''</math> określona na przedziale ''<math>[a; b]''</math> jest różniczkowalna w sposób ciągły.
* ''<math>g'(x)≠0'' \ne 0</math> dla każdego ''<math>x''</math> z przedziału ''<math>(a; b)''</math>.
* Obraz funkcji ''<math>g''</math> zawiera się w dziedzinie funkcji ''<math>f''</math>.
Wówczas:
:<math>\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx = \int\limits_{a}^{b}f(g(t)) \cdot g'(t)dt</math>
== Przykłady ==
* Obliczając całkę <math>\int \tfrac{\ln x}{x} dx</math>, zastosować można podstawienie <math>\ln x = t</math>, tzn.<math>\tfrac{dx}{x} = dt</math>, więc:
:<math>\int \frac{\ln x}{x} dx = \int t \cdot dt = {1 \over 2} t^2 + C = {1 \over 2} \ln^2 x + C</math>.
 
* Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:
:<math>\int \sin (2x + 3) \cdot dx = \frac{1}{2} \int \sin (2x + 3) \cdot 2 dx = \frac{1}{2} \int \sin (2x + 3) \cdot d(2x + 3) = - \frac{1}{2} \cos (2x + 3) + C.</math>.
 
== Przydatne podstawienia ==
77

edycji