Grupa ilorazowa: Różnice pomiędzy wersjami

=== Kongruencja ===

{{zobacz też|kongruencja (algebra)|o1=kongruencja}}

 

Na relację równoważności <math>\scriptstyle \sim</math> określoną na <math>\scriptstyle G,</math> w której <math>\scriptstyle a \sim b</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\scriptstyle aH = bH</math> można patrzeć jako na podzbiór <math>\scriptstyle \Phi \subseteq G \times G,</math> dla którego <math>\scriptstyle (a, b) \in \Phi</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\scriptstyle a \sim b</math><ref>W istocie zwykle tak definiowana jest relacja równoważności, tzn. <math>\scriptstyle \sim = \Phi,</math> tutaj jednak <math>\scriptstyle a \sim b \Leftrightarrow (a, b) \in \Phi.</math></ref> – relację tę nazywa się ''kongruencją'' (lewostronną)<ref>Podany wzór definiuje również relację kongruencji prawostronnej, która zostanie tymczasowo pominięta w tych rozważaniach (zob. [[warstwa (teoria grup)#Normalność|warstwa: ''Normalność'']]).</ref>. Przedstawione dalej obserwacje są powtórzeniem rozumowań dotyczących mnożenia warstw, ich związku z relacjami równoważności i roli podgrup normalnych (zob. [[warstwa (teoria grup)#Własności|warstwa: ''Własności'']], ''[[#Wprowadzenie|Wprowadzenie]]'') w języku kongruencji. W zbiorze <math>\scriptstyle G \times G</math> istnieje naturalna struktura grupy odziedziczona z grupy <math>\scriptstyle G</math> (w postaci [[iloczyny grup|iloczynu prostego]]), a ponieważ <math>\scriptstyle \Phi</math> jest podzbiorem <math>\scriptstyle G \times G,</math> to ma sens pytanie, czy i kiedy <math>\scriptstyle \Phi</math> tworzy grupę w <math>\scriptstyle G \times G.</math> Sytuacja ta miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\scriptstyle H</math> jest normalna w <math>\scriptstyle G</math><ref>''Element neutralny'': zbiór <math>\scriptstyle \Phi</math> zawiera <math>\scriptstyle (e, e)</math> (a nawet całą przekątną); niech <math>\scriptstyle H</math> będzie normalna; ''element odwrotny'': jeżeli <math>\scriptstyle (a, b) \in \Phi,</math> to <math>\scriptstyle aH = bH,</math> czyli <math>\scriptstyle Ha = Hb,</math> stąd wzięcie odwrotności każdego z elementów daje <math>\scriptstyle a^{-1}H = b^{-1}H,</math> czyli <math>\scriptstyle \left(a^{-1}, b^{-1}\right) \in \Phi;</math> ''zamkniętość'': jeżeli <math>\scriptstyle (a, b),\, (c, d) \in \Phi,</math> to <math>\scriptstyle aH = bH</math> oraz <math>\scriptstyle cH = dH,</math> czyli <math>\scriptstyle acH = bdH,</math> tzn. <math>\scriptstyle (ac, bd) = (a, b)(c, d) \in \Phi.</math> Odwrotnie, niech <math>\scriptstyle \Phi</math> będzie podgrupą: jeżeli <math>\scriptstyle aH = bH</math> oraz <math>\scriptstyle cH = dH,</math> to <math>\scriptstyle (a, b),\, (c, d) \in \Phi,</math> skąd <math>\scriptstyle (a, b)(c, d) = (ac, bd) \in \Phi,</math> czyli <math>\scriptstyle acH = bdH,</math> co oznacza, że działanie <math>\scriptstyle aH \cdot cH \mapsto acH</math> jest dobrze określone, a więc na mocy stwierdzenia z ''[[#Wprowadzenie|Wprowadzenia]]'' podgrupa <math>\scriptstyle H</math> jest normalna w <math>\scriptstyle G.</math></ref>; wynika stąd, że mnożenie na zbiorze ilorazowym <math>\scriptstyle G/\sim</math> grupy <math>\scriptstyle G</math> przez relację równoważności <math>\scriptstyle \sim</math> na tej grupie zdefiniowane wzorem <math>\scriptstyle [a][b] = [ab]</math> jest dobrze określone wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\scriptstyle \Phi</math> jest podgrupą w <math>\scriptstyle G \times G</math><ref>''Dostateczność'': jeżeli <math>\scriptstyle \Phi</math> jest podgrupą w <math>\scriptstyle G \times G</math> oraz <math>\scriptstyle [a] = [c]</math> i <math>\scriptstyle [b] = [d],</math> to <math>\scriptstyle (a, c)(b, d) = (ab, cd) \in \Phi,</math> a więc <math>\scriptstyle [ab] = [cd],</math> co oznacza, że mnożenie jest dobrze określone. ''Konieczność'': niech mnożenie będzie dobrze określone; ponieważ <math>\scriptstyle \sim</math> jest równoważnością, to <math>\scriptstyle (e, e) \in \Phi;</math> ponadto jeżeli <math>\scriptstyle (a, c),\, (b, d) \in \Phi,</math> to <math>\scriptstyle [a] = [c],\, [b] = [d],</math> czyli <math>\scriptstyle [a][b] = [ab]</math> jest równe <math>\scriptstyle [c][d] = [cd],</math> czyli <math>\scriptstyle (ab, cd) = (a, b)(c, d) \in \Phi;</math> z powyższych rozważań wynika, że <math>\scriptstyle \Phi</math> jest [[monoid|podmonoidem]] w <math>\scriptstyle G \times G,</math> należy jeszcze sprawdzić, że <math>\scriptstyle \Phi</math> jest zamknięty ze względu na branie odwrotności – niech <math>\scriptstyle (a, b) \in \Phi;</math> pomnożenie tego elementu lewostronnie przez <math>\scriptstyle \left(x^{-1}, x^{-1}\right) \in \Phi</math> oraz prawostronnie przez <math>\scriptstyle \left(y^{-1}, y^{-1}\right) \in \Phi</math> otrzymuje się <math>\scriptstyle \left(y^{-1}, x^{-1}\right) \in \Phi,</math> a na mocy refleksywności relacji <math>\scriptstyle \sim</math> otrzymuje się <math>\scriptstyle \left(x^{-1}, y^{-1}\right);</math> dowodzi to, iż <math>\scriptstyle \Phi</math> jest podgrupą w <math>\scriptstyle G \times G.</math></ref>; co więcej, wszystkie tego rodzaju równoważności wyznaczane są przez podgrupy normalne: jeżeli <math>\scriptstyle \sim</math> jest relacją równoważności na <math>\scriptstyle G,</math> której odpowiada zbiór <math>\scriptstyle \Phi \subseteq G \times G,</math> zaś <math>\scriptstyle H = \{g \in G\colon g \sim e\},</math> to podgrupa <math>\scriptstyle H</math> jest normalna w <math>\scriptstyle G</math> oraz <math>\scriptstyle a \sim b</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\scriptstyle aH = bH</math><ref>Niech <math>\scriptstyle E = \{e\}</math> oznacza [[podgrupa|podgrupę trywialną]] w <math>\scriptstyle G.</math> Grupę <math>\scriptstyle G</math> można utożsamiać z podgrupą <math>\scriptstyle G \times E \subseteq G \times G</math> za pomocą [[homomorfizm grup|izomorfizmu]] <math>\scriptstyle g \mapsto (g, e);</math> podgrupa <math>\scriptstyle H</math> odpowiada [[część wspólna|części wspólnej]] podgrup <math>\scriptstyle \Phi</math> oraz <math>\scriptstyle G \times E,</math> a zatem jest podgrupą w <math>\scriptstyle G.</math> Relacja <math>\scriptstyle \sim</math> istotnie jest kongruencją (lewostronną) modulo <math>\scriptstyle H,</math> gdyż <math>\scriptstyle aH = bH</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\scriptstyle a^{-1}b \in H</math> (zob. [[warstwa (teoria grup)#Własności|własności warstw]]); warunek ten jest równoważny ciągowi następujących: <math>\scriptstyle \left(a^{-1}b, e\right) \in \Phi \Leftrightarrow (a, a)\left(a^{-1}b, e\right) \in \Phi \Leftrightarrow (b, a) \in \Phi \Leftrightarrow (a, b) \in \Phi,</math> co jest równoważne <math>\scriptstyle a \sim b;</math> normalność <math>\scriptstyle H</math> wynika teraz z dobrego określenia mnożenia warstw (lub klas równoważności <math>\scriptstyle \sim</math>).</ref>.