Ekstremum funkcji: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 33 bajty ,  6 lat temu
m
main -> osobny artykuł
(usunięcie szablonu {{bibliografia}})
m (main -> osobny artykuł)
 
== Rachunek wariacyjny ==
{{mainosobny artykuł|Rachunek wariacyjny}}
[[Plik:Braquistócrona.gif|thumb|260px|Na czerwono zaznaczono fragment [[cykloida|cykloidy]] – brachistochronę. [[Punkt materialny]] stacza się od punktu <math>\scriptstyle{A}</math> do punktu <math>\scriptstyle{B}</math> w najkrótszym czasie właśnie po tej krzywej.]]
Ważnymi obiektami matematycznymi są te [[funkcjonał]]y, które danej funkcji przypisują liczbę rzeczywistą, np. długość [[łuk krzywej|łuku]] jej wykresu. Przestrzeń funkcyjna jest przestrzenią unormowaną, opisywaną w jednej z wcześniejszych sekcji, jednak badanie ekstremów tych funkcjonałów jest szczególnie istotne ze względu na zastosowania w fizyce i technice – przykładowo jeśli funkcja będąca argumentem funkcjonału opisuje kształt [[śmigło|śmigła]] samolotu, a wartości funkcjonału opisują wydajność śmigła, to znalezienie globalnego maksimum jest równoważne wyliczeniu jaki kształt śmigła zapewni największą wydajność.
 
=== Przykład – równania Eulera-Lagrange'a ===
{{mainosobny artykuł|Równania Eulera-Lagrange'a|Zasada minimum energii potencjalnej}}
Rachunek wariacyjny bada ekstrema funkcjonałów, często zadanych w postaci [[całka Lebesgue'a|całek]]. W [[mechanika klasyczna|mechanice klasycznej]] ważne są równania, pozwalające na znajdowanie torów cząstek <math>q_k,</math> jeśli znana jest funkcja <math>L</math> ([[lagranżjan]]), opisująca ten układ. Równania te zostały wprowadzone w [[1750]] roku przez [[Leonhard Euler|Leonharda Eulera]] oraz [[Joseph Louis Lagrange|Josepha Louisa Lagrange'a]] i zwane są dziś nazwiskami ich odkrywców. Równania Eulera-Lagrange'a mają ścisły związek z metodami rachunku wariacyjnego.
 
 
=== Warunki wystarczające istnienia ekstremum warunkowego ===
{{mainosobny artykuł|mnożniki Lagrange'a}}
W dalszym ciągu, podtrzymując powyższe założenia i zakładając dodatkowo, że funkcje <math>f</math> i <math>G</math> są dwukrotnie różniczkowalne w sposób ciągły w pewnych otoczeniach punktu <math>x_0,</math> można sformułować warunek wystarczający istnienia ekstremum warunkowego. Mianowicie, jeżeli istnieje funkcjonał liniowy <math>\Lambda\in Y^\star</math> taki, że
: <math>f^\prime(x_0)=\Lambda\circ G^\prime(x_0)</math>
62 254

edycje