Otwórz menu główne

Zmiany

→‎Aksjomat wyboru: W wersji słownej zamiast aksjomatu wyboru wyrażono równoważny z nim aksjomat multiplikatywny. Zmiany: przeniesienie treści aksjomatu multiplikatywnego niżej, wyrażenie słowne aksjomatu wyboru.
{{Główny artykuł|Aksjomat wyboru}}
: Aksjomat wyboru nie należy do aksjomatyki ZF, ale dodanie go tworzy najpowszechniejsze jej rozszerzenie - ZFC.
: Dla dowolnej rodziny <math>r</math> zbiorów niepustych parami rozłącznych istnieje selektor <math>s</math> (zbiór, do którego należy dokładnie jeden element z każdego zbioru należącego do rodziny).
: Dla dowolnej [[rodzina indeksowana|indeksowanej rodziny]] niepustych zbiorów <math>\langle a_i\colon i \in i \rangle</math> istnieje funkcja wyboru:
:: <math>\ (f:i\rightarrow \bigcup_{i\in i} a_i)</math> taka, że:
::: <math>f(i)\in a_i</math> dla wszystkich <math> i\in i</math>
:: <math>\forall r\; \Bigg(\forall a\; (a \in r \Rightarrow a \neq \emptyset)</math>
::: <math>\and \forall a\; \forall b\; \bigg(\Big(a \in r \and b \in r \and a \neq b\Big) \Rightarrow \neg\Big(\exist x\; (x \in a \and x\in b)\Big)\bigg)</math>
: przy czym: <math>\exist! y\; w(y) \Leftrightarrow ((\exist y)(\forall x)\; \left(w(x) \Leftrightarrow x = y\right))</math>
 
: Za pomocą pozostałych aksjomatów można udowodnić równoważność tego aksjomatu z [[lemat Kuratowskiego-Zorna|lematem Kuratowskiego-Zorna]] oraz twierdzeniem, że w każdym zbiorze istnieje relacja [[dobry porządek|dobrego porządku]]., a także z aksjomatem multiplikacji głoszącym, że dla dowolnej [[rodzina indeksowana|indeksowanej rodziny]] niepustych zbiorów <math>\langle a_i\colon i \in i \rangle</math> istnieje funkcja wyboru
:: <math>\ (f:i\rightarrow \bigcup_{i\in i} a_i)</math> taka, że:
::: <math>f(i)\in a_i</math> dla wszystkich <math> i\in i</math>.
 
== Bibliografia ==
Anonimowy użytkownik