Pierścień lokalny: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Przykłady: +2 |
|||
Linia 11:
* Pierścień [[szereg potęgowy#Formalne szeregi potęgowe|szeregów formalnych]] o skończonej liczbie zmiennych i o współczynnikach z ciała jest pierścieniem lokalnym.
* '''Pierścień lokalny kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych'''. Niech <math>X</math> będzie [[przestrzeń topologiczna|przestrzenią topologiczną]] oraz <math>p\in X</math>. Rozpatrzmy zbiór [[para uporządkowana|par]] <math>(V,f)</math>, gdzie <math>V</math> jest [[otoczenie]]m punktu <math>p</math> i <math>f\colon V\to \mathbb{R}</math> jest [[funkcja ciągła|funkcją ciągłą]]. Określmy relację <math>(V_1,f_1)\sim (V_2, f_2)\iff f_1|_U=f_2|_U</math> dla pewnego otoczenia <math>U</math> punktu <math>p</math>. Relacja ta jest [[relacja równoważności|relacją równoważności]]. [[Relacja równoważności#Klasy abstrakcji|Klasę abstrakcji]] zawierającą parę <math>(V,f)</math> oznaczmy <math>[V,f]</math>. W zbiorze klas abstrakcji możemy wyróżnić <math>[X,0]</math> jako element zerowy i <math>[X,1]</math> jako jedynkę oraz odpowiednio zdefiniować działania dodawania i mnożenia. Pierścień ten nazywamy pierścieniem lokalnym kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych w punkcie <math>p</math> przestrzeni topologicznej <math>X</math> i oznaczamy przez <math>\mathcal{O}_{X,p}</math>. Pierścień ten jest lokalny, gdyż jego jedynym ideałem maksymalnym jest ideał <math>\mathfrak{m}_{X,p}</math> złożony z wszystkich klas abstrakcji <math>[V,f]</math>, że <math>f(p)=0</math>. Podobnie określa się pierścienie kiełków zespolonych funkcji ciągłych, [[różniczka|różniczkowalnych]] (rzeczywistych bądź [[Liczby zespolone|zespolonych]]) funkcji ustalonej klasy <math>C^r</math> w punkcie <math>p</math> [[rozmaitość różniczkowa|rozmaitości różniczkowej]] <math>X</math>, a także pierścień kiełków funkcji regularnych w punkcie [[rozmaitość algebraiczna|rozmaitości algebraicznej]].
* '''Lokalizacja względem ideału pierwszego'''. Dla dowolnego [[Pierścień przemienny|pierścienia przemiennego]] <math>R</math> i jego [[Ideał pierwszy (teoria pierścieni)|ideału pierwszego]] <math>P</math> pierścień złożony z elementów postaci <math>\frac{a}{b}</math>, gdzie <math>a \in R, b \in R \setminus P</math> jest pierścieniem lokalnym. Jego ideał maksymalny jest złożony z elementów <math>\frac{a}{b}</math>, dla których <math>a \in P </math>.
* Dla [[Rozmaitość algebraiczna|nierozkładalnego]] podzbioru <math>W</math> [[Zbiór algebraiczny|zbioru algebraicznego]] <math>V</math> pierścień wszystkich funkcji wymiernych, które są określone na otwartych podzbiorach <math>W</math> jest pierścieniem lokalnym, którego ideałem maksymalnym jest zbiór funkcji wymiernych równych 0 na <math>W</math>. Dla zbiorów [[Rozmaitość algebraiczna#Rozmaitości afiniczne|afinicznych]] jest to lokalizacja pierścienia wielomianów względem [[Radykał ideału|ideału radykalnego]] odpowiadającego podzbiorowi.
== Uogólnienie na pierścienie nieprzemienne ==
| |||