Miara Lebesgue’a: Różnice pomiędzy wersjami

'''Miara Lebesgue'aLebesgue’a''' (czyt. „lebega”) – pojęcie [[teoria miary|teorii miary]] formalizujące i uogólniające intuicje związane z takimi pojęciami (w zależności od wymiaru) jak długość, [[pole powierzchni]] czy [[objętość (matematyka)|objętość bryły]]. Historycznie pojęcie [[miara (matematyka)|miary]] (nazywanej dziś ''miarą Lebesgue'aLebesgue’a'') pochodzi z pracy [[Henri Lebesgue|Henriego Lebesgue'aLebesgue’a]]<ref>{{cytuj pismo|imię=Henri|nazwisko=Lebesgue|autor link=Henri Lebesgue|tytuł=Intégrale, longueur, aire|czasopismo= Univ. Paris|rok= 1902}} (dysertacja).</ref>, dotyczącej rozszerzenia pojęcia [[całka|całki]] na klasy funkcji określonych także na innych zbiorach niż [[przedziałPrzedział liczbowy(matematyka)|przedziały domknięte]] (tzw. [[całka Lebesgue'aLebesgue’a]]).

Miara Lebesgue'aLebesgue’a to jedyna [[miara zupełna|zupełna]], [[miara wewnętrznie regularna|wewnętrznie regularna]] i niezmiennicza na przesunięcia (zob. [[#Własności|''Własności'']]) [[miara (matematyka)|miara]] [[miara borelowska|borelowska]] (określona na [[σ-ciało|σ-ciele]] zawierającym wszystkie [[zbiór otwarty|otwarte podzbiory]] przestrzeni), w której (jednostkowa) [[przedział wielowymiarowy|kostka wielowymiarowa]] ma miarę jednostkową.

Rodzina podzbiorów [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]], dla których sensowne jest określenie miary Lebesgue'aLebesgue’a, nie może być opisana w sposób jawny. Elementy tej rodziny tworzą [[σ-ciało]], nazywane ''σ-ciałem zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'aLebesgue’a''. Ewentualne istnienie zbiorów, które nie są mierzalne w sensie Lebesgue'aLebesgue’a ma podłoże [[teoria mnogości|teoriomnogościowe]] (mówiąc wprost zależy od przyjętej aksjomatyki teorii mnogości; zob. ''[[#Zbiory niemierzalne|Zbiory niemierzalne]]'').

Pod założeniem [[aksjomat wyboru|aksjomatu wyboru]] (bądź niektórych z jego słabszych form, na przykład [[twierdzenie o ideale pierwszym]]) nie istnieje miara <math>m</math> spełniająca te warunki 1.-3. Należy mieć na uwadze, że [[aksjomaty Zermelo-Fraenkela|teoria mnogości ZF]] wraz z [[aksjomat wyboru|aksjomatem wyboru]] jest obecnie najszerzej przyjmowaną aksjomatyzacją matematyki.

Przy użyciu ''miary zewnętrznej Lebesgue'aLebesgue’a'', tj. nieujemnej, [[funkcja addytywna zbioru|σ-poddadytywnej funkcji zbiorów]] <math>m^*,</math> określonej na [[zbiór potęgowy|zbiorze wszystkich podzbiorów]] prostej, która spełnia warunki 2. i 3., można skonstruować, metodą pochodzącą od Carathéodory'egoCarathéodory’ego, [[miara zupełna|miarę zupełną]] (tj. nieujemną funkcję σ-addytywną o tej własności, że podzbiór każdego zbioru, któremu funkcja ta przypisuje wartość 0, jest również mierzalny), określoną na pewnej rodzinie podzbiorów prostej, która również spełnia warunki 2. i 3. (nazywaną ''miarą Lebesgue'aLebesgue’a'').

; Konstrukcja przy użyciu twierdzenia Carathéodory'egoCarathéodory’ego

Dla dowolnego zbioru <math>A \subseteq \mathbb R^d</math> można skonstruować [[miara zewnętrzna|miarę zewnętrzną]] <math>\lambda^*(A)</math> wyznaczoną przez funkcję <math>\rm{vol}_d,</math> nazywaną '''miarę zewnętrzną Lebesgue'aLebesgue’a''':

O zbiorze <math>A</math> mówi się, że jest '''mierzalny w sensie Lebesgue'aLebesgue’a''', jeżeli jest on [[miara zewnętrzna#Twierdzenie Carathéodory'ego|mierzalny w sensie Carathéodory'egoCarathéodory’ego]] (spełnia ''warunek Carathéodory'egoCarathéodory’ego'') względem <math>\lambda^*,</math>, tzn. dla każdego zbioru <math>S\subseteq \mathbb R^d</math> zachodzi

Z [[twierdzenie o rozszerzeniu miary|twierdzenia Carathéodory'egoCarathéodory’ego]] wynika, że <math>\lambda^*</math> obcięta do rodziny zbiorów spełniających warunek Carathéodory'egoCarathéodory’ego jest [[miara zupełna|miarą zupełną]] – miara ta nazywana jest miarą Lebesgue'aLebesgue’a w przestrzeni <math>\mathbb R^d.</math>

; Konstrukcja Lebesgue'aLebesgue’a

W oryginalnej konstrukcji Lebesgue'aLebesgue’a i jej wariantach wraz z niezbędnymi zmianami (a wśród nich, w nakreślonej wyżej konstrukcja Carathéodory'egoCarathéodory’ego) nie korzysta się z jakiejkolwiek teorii całkowania. Operuje się jedynie na [[funkcjonał]]ach określonych na podzbiorach [[zbiór potęgowy|zbioru potęgowego]], a dopiero mając do dyspozycji miarę buduje się teorię całkowania funkcji.

Dowód [[twierdzenie Riesza (przestrzenie Hilberta)|twierdzenia Riesza o reprezentacji]] sugeruje inne podejście. Rozpoczyna się od prostszej teorii całki (zwykle [[całka Riemanna|całki Riemanna]]), która umożliwia całkowanie szczególnie prostej klasy funkcji, [[funkcja ciągła|funkcji ciągłych]] na [[nośnik funkcji|nośniku zwartym]]. Wychodząc od tych funkcji określa się miarę zbiorów otwartych, klasy zbiorów bogatszą niż [[prostopadłościan]]y, lecz mniejszą niż klasa [[zbiór borelowski|zbiorów borelowskich]]; następnie rozszerza się tę teorię miary do σ-ciała zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'aLebesgue’a w analogiczny sposób jak w dowodzie Lebesgue'aLebesgue’a, lecz łatwiejszy technicznie. Dalsza konstrukcja ogólnej całki z miary przebiega identycznie jak w poprzedniej konstrukcji.

{{seealsoZobacz też|całka Daniella-Stone'aStone’a}}

Trzecie podejście, zapoczątkowane przez [[William Henry Young|Williama H. Younga]] i wznowione przez [[Percy Daniell|Percy'egoPercy’ego Daniella]], polega na konstrukcji teorii całki Lebesgue'aLebesgue’a bez uciekania się do ogólnej teorii miary, mianowicie przez operowanie funkcjonałami określonymi dla odpowiednich rodzin funkcji ([[półciągłośćFunkcja półciągła|funkcji półciągłych]]), a następnie uzyskanie konstrukcji miary niejako przy okazji konstrukcji całki.

* jeżeli <math>A</math> jest [[suma rozłączna|sumą rozłączną]] [[zbiór przeliczalny|przeliczalnie wielu]] rozłącznych podzbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'aLebesgue’a, to <math>A</math> sam jest mierzalny w sensie Lebesgue'aLebesgue’a, <math>\lambda(A)</math> jest równa sumie (skończonej bądź [[szereg (matematyka)|szeregu]]) miar wspomnianych zbiorów mierzalnych;

* jeżeli <math>A</math> oraz <math>B</math> są zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue'aLebesgue’a, przy czym <math>A</math> jest podzbiorem <math>B,</math> to <math>\lambda(A) \leqslant \lambda(B)</math> (konsekwencja trzech powyższych);

* przeliczalne [[suma zbiorów|sumy]] oraz [[przekrójCzęść zbiorówwspólna|przekroje]] zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'aLebesgue’a są mierzalne w sensie Lebesgue'aLebesgue’a; nie wynika to z powyższych własności, gdyż rodzina zamknięta ze względu na dopełnienia i przeliczalne sumy ''rozłączne'' nie musi być zamknięta ze względu na przeliczalne sumy: <math>\bigl\{\varnothing, \{1,2,3,4\}, \{1,2\}, \{3,4\}, \{1,3\}, \{2,4\}\bigr\}.</math>

* jeżeli <math>A</math> jest [[iloczyn kartezjański|iloczynem kartezjańskim]] [[przedział (matematyka)|przedziałów]] <math>I_1 \times I_2 \times \dots \times I_d</math> (innymi słowy: jest [[przedział wielowymiarowy|przedziałem wielowymiarowym]]), to <math>A</math> jest mierzalny w sensie Lebesgue'aLebesgue’a oraz <math>\lambda(A) = |I_1| \cdot |I_2| \dots |I_n|,</math> gdzie <math>|I|</math> oznacza długość przedziału <math>I;</math>

* każdy [[zbiory borelowskie|zbiór borelowski]] (a więc w szczególności [[zbiór otwarty]] lub [[zbiór domknięty]]) w przestrzeni euklidesowej jest mierzalny w sensie Lebesgue'aLebesgue’a;

* miara Lebesgue'aLebesgue’a jest [[miara lokalnie skończona|lokalnie skończona]] i [[miara wewnętrznie regularna|wewnętrznie regularna]], jest więc [[miara Radona|miarą Radona]];

* każdy podzbiór zbioru miary zero Lebesgue'aLebesgue’a jest mierzalny (a więc również miary zero). Innymi słowy, miara Lebesgue'aLebesgue’a jest [[miara zupełna|miarą zupełną]].

* jeżeli <math>A</math> zbiorem mierzalnym oraz <math>\delta>0</math> i <math>x_0</math> jest dowolnym punktem, to zbiory <math>\delta A = \{\delta x\colon x\in A\}</math> i <math>A + x_0 = \{a + x_0\colon a \in A\}</math> są również mierzalne oraz są miary, odpowiednio, <math>\delta^d \lambda(A)</math> i <math>\lambda(A).</math> Ogólniej, jeśli <math>T\colon \mathbb R^d \to \mathbb R^d</math> jest [[przekształcenie liniowe|przekształceniem liniowym]], to obraz <math>T(A)</math> jest mierzalny oraz jest miary <math>|\det T| \lambda(A).</math>

* każdy [[zbiór analityczny|analityczny]] i [[zbiór analityczny|koanalityczny]] podzbiór przestrzeni euklidesowej jest mierzalny w sensie Lebesgue'aLebesgue’a.

* miara Lebesgue'aLebesgue’a w przestrzeni <math>\mathbb R^d</math> jest [[miara σ-skończona|σ-skończona]] bo, na przykład,

Są to jednowymiarowe wersje [[twierdzenieTwierdzenie Lebesgue'aLebesgue’a o punktach gęstości|twierdzenia Lebesgue'aLebesgue’a o punktach gęstości]].

Pod założeniem [[aksjomat wyboru|aksjomatu wyboru]] istnieją niemierzalne podzbiory prostej. [[Giuseppe Vitali]] udowodnił w 1905 roku<ref>{{cytuj pismo|nazwisko=Vitali|imię=Giuseppe|autor link=Giuseppe Vitali|rok=1905|tytuł= Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta|czasopismo=Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani}}</ref>, że pod założeniem [[aksjomat wyboru|aksjomatu wyboru]] istnieje niemierzalny (w sensie Lebesgue'aLebesgue’a) podzbiór prostej (tzw. [[zbiór Vitalego]]). Innym "przykładem"„przykładem” zbioru niemierzalnego jest [[zbiór Bernsteina]]<ref>[[Felix Bernstein]], ''[http://www.reference-global.com/doi/abs/10.1515/crll.1907.132.270 Zur Theorie der trigonometrischen Reihen]'', Sitzungsber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-Natur. Kl. 60 (1908), sss. 325-338.</ref>. Prawdziwe jest również zdanie ogólniejsze: każdy mierzalny podzbiór przestrzeni euklidesowej miary dodatniej zawiera podzbiór niemierzalny. Istnienie i natura zbiorów niemierzalnych są częstym przedmiotem badań w [[opisowa teoria mnogości|opisowej teorii mnogości]]. Następujące dwa twierdzenia są przykładami pytań rozważanych w tym kontekście:

[[Stefan Banach]] rozważał problem możliwości rozszerzenia miary Lebesgue'aLebesgue’a do rodziny wszystkich podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych bądź znalezienia miary, która zachowa pewne własności miary Lebesgue'aLebesgue’a i będzie określona dla każdego podzbioru prostej. W szczególności Banach zadał następujące pytanie{{fakt|data=2011-06}}:

: Czy istnieje przeliczalnie addytywna miara mierząca wszystkie podzbiory <math>\mathbb R</math> znikająca na punktach, tzn. taka, że miara zbioru jednoelementowego jest 0?

W [[1929]] wraz z [[Kazimierz Kuratowski|Kazimierzem Kuratowskim]] wykazał on, że przy założeniu [[hipoteza continuum|hipotezy continuum]] taka miara nie istnieje<ref>[[Stefan Banach]], [[Kazimierz Kuratowski]]: ''[http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/or/or1/or1122.pdf Sur une généralisation du probleme de la mesure]''. „[[Fundamenta Mathematicae]]” 14 (1929), s. 127-131.</ref>. Z drugiej strony, [[Stanisław Ulam]] udowodnił na gruncie teorii ZF z aksjomatem wyboru, że jeżeli istnieje [[liczba mierzalna|liczba rzeczywiście mierzalna]], to istnieje również przedłużenie miary Lebesgue'aLebesgue’a do miary określonej na rodzinie wszystkich podzbiorów prostej<ref name=Ulam>{{cytuj pismo |nazwisko =Ulam |imię =Stanisław|autor link=Stanisław Ulam|tytuł =Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre |czasopismo = [[Fundamenta Mathematicae]] |numer =16 |wydanie = |strony =140-150 |rok=1930|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm16/fm16114.pdf }}

[[Robert M. Solovay]]<ref>[[Robert M. Solovay]]: ''Real-valued measurable cardinals''. „Axiomatic set theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967)”, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1971, s. 397-428.</ref> udowodnił, że jeśli istnieje liczba mierzalna, to pewne [[pojęcie forsingu]] <math>\mathbb P</math> [[forsing|forsuje]] pozytywną odpowiedź na pytanie Banacha (tzn. istnienie odpowiedniej miary). Ponadto, wykazał on że jeżeli teoria mnogości ZF jest [[niesprzeczność|niesprzeczna]], to ma ona [[struktura matematyczna|model]], w którym wszystkie podzbiory prostej są ''mierzalne w sensie Lebesgue'aLebesgue’a''<ref name=Solovay>[[Robert M. Solovay|Solovay, Robert M.]] ''[http://www.jstor.org/stable/1970696 A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable]''. „Annals of Mathematics” 92 (1970) sss. 1-56.</ref>.

Bez aksjomatu wyboru nie można udowodnić istnienia zbiorów niemierzalnych i przy pewnych alternatywnych założeniach wszystkie podzbiory prostej mogą być mierzalne. W [[1962]] polscy matematycy [[Jan Mycielski (matematyk)|Jan Mycielski]] i [[Hugo Steinhaus]]<ref>[[Jan Mycielski]], [[Hugo Steinhaus]]: ''A mathematical axiom contradicting the axiom of choice''. „Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys.” 10 (1962), s. 1-3.</ref> zaproponowali badania [[Aksjomat determinacji|aksjomatu determinacji]] (AD). Jan Mycielski i Stanisław Świerczkowski<ref>[[Jan Mycielski]], Stanisław Świerczkowski: ''[http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm54/fm5417.pdf On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness]''. „[[Fundamenta Mathematicae]]”. 54 (1964), s. 67-71. </ref> wykazali, że przy założeniu AD wszystkie zbiory są mierzalne w sensie Lebesgue'aLebesgue’a.

Jeśli istnieje [[liczba nieosiągalna]], to istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie [[zbiór rzutowy|rzutowe podzbiory]] prostej są mierzalne w sensie Lebesgue'aLebesgue’a.<ref name=Solovay />. [[Saharon Shelah]]<ref>[[Saharon Shelah]]: ''Can you take Solovay'sSolovay’s inaccessible away?'' „Israel J. Math.” 48 (1984), s. 1-47.</ref> wykazał, że założenie istnienia liczby nieosiągalnej jest konieczne: mierzalność wszystkich zbiorów klasy <math>\Sigma^1_3</math> implikuje, że <math>\omega_1</math> jest liczbą nieosiągalną w [[Uniwersum konstruowalne|uniwersum zbiorów konstruowalnych]] ([[Kurt Gödel|Kurta Gödla]]).

Mimo iż miara Jordana umożliwia zdefiniowanie [[całka Riemanna|całki Riemanna]], która jest adekwatna do większości zastosowań, to w wielu ważnych wypadkach okazuje się niewystarczająca. Wśród nich można wymienić teorię [[szereg Fouriera|szeregów Fouriera]] – trudności napotkane w tej dziedzinie wymusiły przyjęcie współcześnie stosowanej definicji miary zaproponowanej właśnie przez Lebesgue'aLebesgue’a. Z określenia miary Lebesgue'aLebesgue’a wynika natychmiast, że zbiory mierzalne w sensie Jordana są mierzalne również w sensie Lebesgue'aLebesgue’a. Wynikanie nie zachodzi jednak w drugą stronę: przykładem może być zbiór [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] z przedziału <math>[0, 1],</math> który nie jest mierzalny w sensie Jordana, lecz jest mierzalny w sensie Lebesgue'aLebesgue’a (jego miara jest równa zeru; zob. [[funkcja Dirichleta]]).

Miara borelowska pokrywa się z miarą Lebesgue'aLebesgue’a na zbiorach, na których jest określona. Wynika to z faktu, iż σ-ciało <math>\mathfrak L</math> zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'aLebesgue’a definiuje się jako σ-ciało <math>\mathfrak B</math> [[zbiór borelowski|zbiorów borelowskich]] generowane przez rodzinę [[zbiór otwarty|zbiorów otwartych]] ([[zbiór domknięty|domkniętych]]) za pomocą [[dopełnienie zbioru|dopełnień]] i przeliczalnych [[suma zbiorów|sum]] względem rozpatrywanej przestrzeni ([[przestrzeń topologiczna|topologicznej]]) oraz tworzących σ-[[ideał (teoria mnogości)|ideał]] <math>\mathfrak N</math> ''zbiorów miary zero'', tzn. zbiorów takich, które mogą być pokryte przedziałami o dowolnie małej łącznej objętości.

Pokazać można, że σ-ciało podzbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue przestrzeni <math>\mathbb{R}^n</math>

gdzie <math>\triangle</math> oznacza operację [[różnica symetryczna|różnicy symetrycznej]]. Można powiedzieć, że jest to [[rodzina zbiorów]] ''zaniedbywalnie mało'' różniących się od zbiorów borelowskich; dowodzi się również, że zbiory mierzalne w sensie Lebesgue'aLebesgue’a z punktu widzenia miary są ''niemal'' [[zbiór otwarty|otwarte]], jak i ''niemal'' [[zbiór domknięty|domknięte]].

Istnieje dużo więcej zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'aLebesgue’a niż zbiorów mierzalnych borelowsko. Klasa <math>\mathfrak B</math> jest znacznie węższa od klasy <math>\mathfrak L,</math>, gdyż przestrzeń <math>\mathbb R^d</math> zawiera zbiory miary zero [[moc zbioru|mocy]] [[continuum]], zaś [[zbiór potęgowy|rodzina wszystkich podzbiorów takiego zbioru]] jest mocy wyższej niż continuum. Ponieważ <math>\mathfrak B</math> jest mocy continuum, to przestrzeń ta zawiera podzbiory nieborelowskie miary zero (podobnie można argumentować, że istnieją zbiory miary zero, które nie są [[zbiór analityczny|analityczne]] czy też koanalityczne).

Miarę Haara można zdefiniować na [[przestrzeń lokalnie zwarta|lokalnie zwartej]] [[grupa topologiczna|grupie topologicznej]]; jest ona uogólnieniem miary Lebesgue'aLebesgue’a (w szczególności <math>\mathbb R^d</math> z dodawaniem jest grupą lokalnie zwartą).

Miara Hausdorffa jest uogólnieniem miary Lebesgue'aLebesgue’a pomocnym w mierzeniu podzbiorów <math>\mathbb R^d</math> wymiarów niższych niż <math>d,</math> takich jak [[podrozmaitość|podrozmaitości]], np. [[powierzchnia|powierzchnie]], czy [[krzywa|krzywe]] w <math>\mathbb R^3,</math> czy [[fraktal]]e. Nie należy mylić miary Hausdorffa z odrębnym pojęciem [[wymiar Hausdorffa|wymiaru Hausdorffa]].

W przypadku, gdy <math>X</math> jest nieskończeniewymiarową [[przestrzeń unormowana|przestrzenią unormowaną]], to skonstruowanie na niej miary o analogicznych własnościach do miary Lebesgue'aLebesgue’a okazuje się niemożliwe. Dokładniej: nie istnieje taka [[miara trywialna|nietrywialna miara]] <math>\mu</math> określona na pewnej [[przestrzeń mierzalna|σ-algebrze]] podzbiorów <math>X</math> (zawierającej [[zbiór otwarty|zbiory otwarte]]), która byłaby:

* [[miara niezmiennicza|niezmiennicza]] ze względu na [[translacja (matematyka)|przesunięcia]], tj. dla każdego punktu <math>x \in X</math> i [[zbiórPrzestrzeń mierzalnymierzalna|zbioru mierzalnego]] <math>A</math> zachodziłoby

* [[miara ściśle dodatnia|ściśle dodatnia]], tzn. każdy niepusty zbiór otwarty miałby dodatnią miarę.<ref>{{cytuj pismo | nazwisko1 = Hunt | imię = Brian R. | nazwisko = Sauer | imię2 = Tim | nazwisko3 = Yorke | imię3 = James A. | tytuł = Prevalence: a translation-invariant "almost„almost every"every” on infinite-dimensional spaces | czasopismo = [[Bulletin of the American Mathematical Society]] | tom = 27 | rok = 1992 | numer = 2 | strony = 217–238 | doi = 10.1090/S0273-0979-1992-00328-2}}</ref>.

[[Kategoria:Miary (teoria miary)|Lebesgue'aLebesgue’a]]