Wikipedia

Twierdzenie Carathéodory’ego (teoria miary): Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja nieprzejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Konradek (dyskusja | edycje)
12 936 edycji
m drobne redakcyjne
Konradek obiecywał więcej nie zajmować się matematyką tutaj. Wycofano ostatnią zmianę treści (wprowadzoną przez Konradek) i przywrócono wersję 36191707 autorstwa Loxley
Linia 1:
{{spis treści}}
'''Twierdzenie Carathéodory’egoCarathéodory'ego''' – [[twierdzenie]] [[teoria miary|teorii miary]] autorstwa [[Constantin Carathéodory|Constantina Carathéodory’ego]], opisująceumożliwiające konstrukcję [[miara (matematyka)|miary]] w oparciu o daną [[miara zewnętrzna|miarę zewnętrzną]]. Najbardziej znanym przykładem zastosowania tego twierdzenia jest powołanie się na nie w konstrukcji tzw. [[miara Lebesgue’a|miary Lebesgue’a]] na [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] z miary zewnętrznej Lebesgue’a (zob. [[miara Lebesgue’a#Przegląd konstrukcji|konstrukcję]]).
 
Przykładowo, [[miara Lebesgue'a|miarę Lebesgue'a]] ''λ'' na [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] ''R''<sup>''n''</sup> otrzymuje się z miary zewnętrznej Lebesgue'a ''λ''*.
 
== Twierdzenie ==
Niech ''X'' będzie niepustym zbiorem oraz
Niech ''X'' będzie niepustym zbiorem, traktowanym dalej jako [[przestrzeń]], na którym określono funkcję zbiorów <math>\scriptstyle \mu^*</math> o nieujemnych wartościach z [[rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych|rozszerzonego (afinicznie) zbioru liczb rzeczywistych]] znikającą na [[zbiór pusty|zbiorze pustym]], tzn. istnieje funkcja <math>\scriptstyle \mu^*\colon \mathcal P(X) \to [0, +\infty]</math> spełniająca <math>\scriptstyle \mu^*(\varnothing) = 0,</math> gdzie <math>\scriptstyle \mathcal P(X)</math> oznacza [[zbiór potęgowy]] zbioru <math>\scriptstyle X.</math>
:<math>\mu^*\colon \mathcal P(X) \to [0, +\infty]</math>
będzie taką funkcją, że
:<math>\mu^*(\varnothing) = 0</math>,
gdzie ''P''(''X'') oznacza [[zbiór potęgowy]] zbioru ''X'').
 
Mówi się, że zbiór ''A'' ⊆ ''X'' spełnia ''warunek Carathéodory'ego'' względem <math>\mu^*,</math> gdy dla każdego zbioru ''E'' ⊆ ''X'' zachodzi równość
Zbiór <math>\scriptstyle A \subseteq X</math> ''rozdziela'' zbiór <math>\scriptstyle E \subseteq X</math> względem <math>\scriptstyle \mu^*,</math> jeśli
: <math>\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c).</math>
O zbiorze <math>\scriptstyle A,</math> który rozdziela dowolny podzbiór <math>\scriptstyle E</math> zawarty w <math>\scriptstyle X,</math> mówi się, iż spełnia '''warunek Carathéodory’ego''' względem <math>\scriptstyle \mu^*</math><ref group="uwaga">O zbiorach spełniających warunek Carathéodory’ego względem <math>\scriptstyle \mu^*</math> mówi się też, iż są mierzalne w sensie Carathéodory’ego lub <math>\scriptstyle \mu^*</math>-mierzalne (czasami też krótko: mierzalne; w szczególności, gdy „miarami” nazywane są miary zewnętrzne).</ref>.
 
Wówczas rodzina <math>\scriptstyle \mathfrak M</math> podzbiorów <math>\scriptstyle ''X,</math>'' które spełniają warunek Carathéodory’egoCarathéodory'ego względem <math>\scriptstyle \mu^*</math>, jest [[ciało zbiorów|algebrą]], a <math>\scriptstyle \mu</math> będąca zawężeniem <math>\scriptstyle \mu^*</math> do <math>\scriptstyle \mathfrak M</math> jest [[miara skończenie addytywna|miarą skończenie addytywną]] (tzn. jest [[funkcja addytywna zbioru|addytywna]]). Co więcej, jeśli <math>\scriptstyle \mu^*</math> jest [[miara zewnętrzna|miarą zewnętrzną]] (tzn. jest również [[funkcja monotoniczna|monotoniczna]] i [[funkcja addytywna|przeliczalnie podaddytywna]]), to <math>\scriptstyle \mathfrak M</math> jest [[przestrzeń mierzalna|σ-algebrą]], zaś <math>\scriptstyle \mu</math> jest [[miara (matematyka)|miarą]] (tzn. jest [[funkcja addytywna zbioru|przeliczalnie addytywna]]).
 
 
== Dowód ==
Dowód składający się z pięciu części jest standardową techniką szeroko stosowaną w [[teoria miary|teorii miary]]. Pierwsze dwa kroki wykazują, iż <math>\scriptstyle \mathfrak M</math> jest algebrą, zaś <math>\scriptstyle \mu</math> jest addytywna; trzeci i czwarty mówi, przy założeniu, iż <math>\scriptstyle \mu^*</math> jest [[miara zewnętrzna|miarą zewnętrzną]], że <math>\scriptstyle \mathfrak M</math> jest zamknięty ze względu na [[suma zbiorów|sumy przeliczalne]], a <math>\scriptstyle \mu^*</math> jest σ-addytywna, tzn. <math>\scriptstyle \mathfrak M</math> jest σ-algebrą, a <math>\scriptstyle \mu</math> określoną na niej [[miara (matematyka)|miarą]]. Ostatni krok dowodzi [[miara zupełna|zupełności]] miary <math>\scriptstyle \mu.</math>
 
=== Algebra ===
; Należenie zbioru pustego
: [[Zbiór pusty]] rozdziela wszystkie [[podzbiór|podzbiory]], ponieważ z założenia <math>\scriptstyle \mu^*(\varnothing) = 0</math> oraz
:: <math>\mu^*(E \cap \varnothing) + \mu^*(E \cap X) = \mu^*(\varnothing) + \mu^*(E) = \mu^*(E)</math>
: dla każdego <math>\scriptstyle E</math> zawartegonależącego wdo <math>\scriptstyle X.</math>
 
; Zamkniętość ze względu na dopełnienia
: Własność rozdzielania jest symetryczna ze względu na [[dopełnienie zbioru|dopełnienia]], tzn. jeśli <math>\scriptstyle A</math> rozdziela <math>\scriptstyle E,</math> to w oczywisty sposób <math>\scriptstyle A^\operatorname c</math> rozdziela <math>\scriptstyle E,</math> co oznacza, że <math>\scriptstyle \mathfrak M</math> jest zamknięta ze względu na dopełnienia.
 
; Zamkniętość ze względu na sumy skończone
[[Plik:disjoint union.png|right]]
: Niech <math>\scriptstyle A</math> oraz <math>\scriptstyle B</math> należą do <math>\scriptstyle \mathfrak M,</math> zaś <math>\scriptstyle E</math> będzie podzbiorem <math>\scriptstyle X.</math> Najpierw zbiór <math>\scriptstyle E</math> należy rozdzielić zbiorem <math>\scriptstyle A,</math>
:: <math>\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c),</math>
: a następnie drugi składnik za pomocą zbioru <math>\scriptstyle B,</math>
:: <math>\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c \cap B) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c \cap B^\operatorname c).</math>
: Ponieważ <math>\scriptstyle E \cap A</math> można zapisać jako <math>\scriptstyle E \cap (A \cup B) \cap A,</math> zaś <math>\scriptstyle E \cap A^\operatorname c \cap B = E \cap (A \cup B) \cap A^\operatorname c</math> (z [[rozdzielność|rozdzielności]] przekroju względem sumy), to rozdzielając zbiorem <math>\scriptstyle A</math> zbiór <math>\scriptstyle E \cap (A \cup B)</math> otrzymuje się
:: <math>\mu^*\bigl(E \cap (A \cup B)\bigr) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c \cap B),</math>
: co daje
:: <math>\mu^*(E) = \mu^*\bigl(E \cap (A \cup B)\bigr) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c \cap B^\operatorname c) = \mu^*\bigl(E \cap (A \cup B)\bigr) + \mu^*\bigl(E \cap (A \cup B)^\operatorname c\bigr).</math>
 
: Innymi słowy <math>\scriptstyle A \cup B</math> rozdziela wszystkie podzbiory <math>\scriptstyle X,</math> zatem należy do <math>\scriptstyle \mathfrak M.</math>
 
=== Addytywność zawężenia ===
DlaSprawdzenie jest łatwe – dla danych [[zbiory rozłączne|zbiorów rozłącznych]] <math>\scriptstyle A, B</math> należących do <math>\scriptstyle \mathfrak M,</math> tzn. <math>\scriptstyle B \subseteq A^\operatorname c</math> wystarczy rozdzielić <math>\scriptstyle A \cup B</math> oraz <math>\scriptstyle A</math> jak następuje:
: <math>\mu^*(A \cup B) = \mu^*\bigl((A \cup B) \cap A\bigr) + \mu^*\bigl((A \cup B) \cap A^\operatorname c\bigr) = \mu^*(A) + \mu^*(B).</math>
 
=== σ-algebra ===
: ''Niżej zakłada się, że <math>\scriptstyle \mu^*</math> jest [[miara zewnętrzna|miarą zewnętrzną]].''
Z definicji σ-algebra to algebra zamknięta ze względu na sumy przeliczalne. Niech <math>\scriptstyle \{A_i\}_{i \in \mathbb N}</math> będzie przeliczalną [[rodzina zbiorów|rodziną]] zbiorów należących do <math>\scriptstyle \mathfrak M,</math> zaś <math>\scriptstyle E</math> oznacza dowolny podzbiór <math>\scriptstyle X.</math> Niech <math>\scriptstyle B_n</math> oznacza sumę <math>\scriptstyle A_1, \dots, A_n,</math> a <math>\scriptstyle B</math> będzie sumą wszystkich <math>\scriptstyle A_i.</math> Należy wykazać, że <math>\scriptstyle B</math> rozdziela <math>\scriptstyle E.</math> Idea polega na tym, by wykorzystać fakt, iż <math>\scriptstyle \mathfrak M</math> jest algebrą i jako taka zawiera <math>\scriptstyle B_n,</math> rozdzielić nim zbiór <math>\scriptstyle E</math> i przejść do granicy.
 
Rozdzielając zbiór <math>\scriptstyle E</math> zbiorem <math>\scriptstyle B_n</math> uzyskuje się
: <math>\mu^*(E) = \mu^*(E \cap B_n) + \mu^*(E \cap B_n^\operatorname c).</math>
Ponieważ <math>\scriptstyle B_n \subseteq B,</math> to biorąc dopełnienie otrzymuje się <math>\scriptstyle B^\operatorname c \subseteq B_n^\operatorname c,</math> co z ''monotoniczności'' daje
: <math>\mu^*(E) \geqslant \mu^*(E \cap B_n) + \mu^*(E \cap B^\operatorname c).</math>
 
Wychodząc odBadając <math>\scriptstyle \mu^*(E \cap B_n)</math> poszukujeszuka się wzoru, który umożliwiałby łatwe przejście do granicy przy <math>\scriptstyle n \to \infty.</math> Rozdzielenie zbioru <math>\scriptstyle E \cap B_n</math> za pomocą <math>\scriptstyle A_n</math> daje
: <math>\mu^*(E \cap B_n) = \mu^*(E \cap A_n) + \mu^*(E \cap B_{n-1}),</math>
co na mocy [[indukcja matematyczna|indukcji]] zapewnia, iż
: <math>\mu^*(E \cap B_n) = \sum_{i = 1}^n \mu^*(E \cap A_i),</math>
 
Po podstawieniu do powyższej nierówności jest
: <math>\mu^*(E) \geqslant \sum_{i = 1}^n \mu^* (E \cap A_i) + \mu^*(E \cap B^\operatorname c).</math>
Ponieważ wzór ten zachodzi dla wszystkich <math>\scriptstyle n,</math> to przejście do granicy przy <math>\scriptstyle n \to \infty</math> daje sumę [[szereg (matematyka)|szeregu]]. Z ''przeliczalnej podaddytywności'' <math>\scriptstyle \mu^*</math> wynika, że
: <math>\sum_{i = 1}^\infty \mu^*(E \cap A_i) \geqslant \mu^*\left(\bigcup_{i = 1}^\infty (E \cap A_i)\right) = \mu^*(E \cap B),</math>
skąd
: <math>\mu^*(E) \geqslant \mu^*(E \cap B) + \mu^*(E \cap B^\operatorname c) \geqslant \mu^*\bigl((E \cap B) \cup (E \cap B^\operatorname c)\bigr) = \mu^*(E),</math>
a więcstąd
: <math>\mu^*(E) = \mu^*(E \cap B) + \mu^*(E \cap B^\operatorname c).</math>
 
=== Miara ===
: ''Niżej zakłada się, że <math>\scriptstyle \mu^*</math> jest [[miara zewnętrzna|miarą zewnętrzną]].''
[[Miara (matematyka)|Miara]] określona na σ-algebrze jest funkcją σ-addytywną o nieujemnych wartościach, która przypisuje zero zbiorowi pustemu. Sprawdzenie σ-addytywności <math>\scriptstyle \mu^*</math> zawężonej do <math>\scriptstyle \mathfrak M,</math> podobnie jak addytywności, nie sprawia trudności. Niech <math>\scriptstyle \{A_i\}_{i \in \mathbb N}</math> będzie przeliczalną rodziną [[zbiory rozłączne|parami rozłącznych zbiorów]] należących do <math>\scriptstyle \mathfrak M.</math> Ponieważ <math>\scriptstyle B</math> jest sumą wszystkich <math>\scriptstyle A_i,</math> to z addytywności i monotoniczności otrzymuje się
: <math>\mu^*(A_1) + \dots + \mu^*(A_n) = \mu^*(A_1 \cup \dots \cup A_n) \leqslant \mu^*(B),</math>
co zachodzi dla wszystkich <math>\scriptstyle n,</math> dlatego w granicy jest
: <math>\sum_{i = 1}^\infty \mu^*(A_i) \leqslant \mu^*(B).</math>
Przeliczalna podaddytywność <math>\scriptstyle \mu^*</math> daje nierówność w drugą stronę, skąd ostatecznie wynika wniosek
: <math>\mu^*(B) = \sum_{i = 1}^\infty \mu^*(A_i).</math>
 
=== Zupełność ===
: ''Niżej zakłada się, że <math>\scriptstyle \mu^*</math> jest [[miara zewnętrzna|miarą zewnętrzną]].''
[[Miara zupełna|Zupełność]] miary oznacza, że jeśli <math>\scriptstyle A</math> jest podzbiorem należącego do danej σ-algebry zbioru <math>\scriptstyle Z</math> [[zbiór miary zero|miary zero]], to <math>\scriptstyle A</math> również należy do σ-algebry (i ma miarę zero, co wynika już z monotoniczności).
 
Niżej zostanie wykazane, że zbiór <math>\scriptstyle A</math> przestrzeni <math>\scriptstyle X,</math> dlataki, któregoże <math>\scriptstyle \mu^*(A) = 0,</math> należy do <math>\scriptstyle \mathfrak M.</math> Niech <math>\scriptstyle E</math> będzie dowolnym podzbiorem <math>\scriptstyle X,</math> wtedy
: <math>\mu^*(E) = \mu^*\bigl((E \cap A) \cup (E \cap A^\operatorname c)\bigr) \leqslant \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c) \leqslant \mu^*(A) + \mu^*(E) = \mu^*(E).</math>
 
Teraz, jeśli <math>\scriptstyle A</math> zawiera się w <math>\scriptstyle Z</math> miary zero należącym do <math>\scriptstyle \mathfrak M,</math> tzn. <math>\scriptstyle \mu^*(Z) = 0,</math> to z monotoniczności uzyskuje się <math>\scriptstyle \mu^*(A) = 0,</math> co oznacza, iż <math>\scriptstyle A</math> należy do <math>\scriptstyle \mathfrak M.</math>
 
== Rozszerzanie funkcji addytywnych ==
{{zobacz teżseealso|funkcja addytywna zbioru}}
Jeżeli <math>\scriptstyle \mu_0\colon \mathfrak A \to [0, \infty],</math> gdzie <math>\scriptstyle \mathfrak A \subseteq \mathcal P(X),</math> przy czym <math>\scriptstyle \varnothing, X \in \mathfrak A,</math> jest taką funkcją, spełniającąże <math>\scriptstyle \mu_0(\varnothing) = 0,</math> to funkcja <math>\scriptstyle \mu^*\colon \mathcal P(X) \to [0, \infty]</math> dana wzorem
: <math>\mu^*(E) := \inf\left\{\sum_{i = 1}^\infty \mu_0(A_i)\colon \{A_i\}_{i \in \mathbb N} \subseteq \mathfrak A, \mbox{ gdzie } E \subseteq \bigcup_{i = 1}^\infty A_i\right\},</math>
jest [[miara zewnętrzna|miarą zewnętrzną]]<ref>Folland, stwierdzenie 1.10 s. 29</ref> indukowaną z <math>\scriptstyle \mu_0.</math>
 
Przestrzeń mierzalna <math>\scriptstyle (X, \mathfrak M, \mu)</math> otrzymana z miary zewnętrznej <math>\scriptstyle \mu^*</math> indukowanej przez przeliczalnie addytywną funkcję <math>\scriptstyle \mu_0</math> za pomocą twierdzenia Carathéodory’egoCarathéodory'ego przejawia kilka ważnych własności:
* wszystkie elementy <math>\scriptstyle \mathfrak A</math> są mierzalne, tzn. <math>\scriptstyle \mathfrak A</math> jest podzbiorem <math>\scriptstyle \mathfrak M,</math> skąd σ-algebra generowana przez <math>\scriptstyle \mathfrak A</math> zawiera się w <math>\scriptstyle \mathfrak M;</math>
* <math>\scriptstyle \mu</math> zawężona do <math>\scriptstyle \mathfrak A</math> jest równa <math>\scriptstyle \mu_0;</math>
* jeżeli <math>\scriptstyle X</math> może być pokryta przeliczalną rodziną zbiorów miary skończonej należących do <math>\scriptstyle \mathfrak A,</math> to <math>\scriptstyle \mu,</math> odpowiednio ograniczona, jest miarą na σ-algebrze generowanej przez <math>\scriptstyle \mathfrak A</math> będącą rozszerzeniem <math>\scriptstyle \mu_0.</math>
 
Niekiedy trzy wspomniane wyżej twierdzenia spotyka się w literaturze pod nazwą [[twierdzenie Hahna-Kołmogorowa|twierdzenia Hahna-Kołmogorowa]].<ref group="uwaga">Użycie nazw ''twierdzenie Hahna'', ''twierdzenie Kołmogorowa'', czy przywoływanie twierdzenia bez przypisywania mu nazwiska zależy od gustu i sympatii autora – zob. Lang, twierdzenie 7.1 s. 153, gdzie nosi ono nazwę twierdzenie Hahna.</ref>.
 
{{uwagi}}
{{przypisy}}
 
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Carathéodory’ego_(teoria_miary)”