Całka Riemanna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m Bot: Migrating 24 interwiki links, now provided by Wikidata on d:q697181 (translate me) |
m drobne techniczne: przywrócenie podsekcji, gdyż odwołują się nich inne artykuły |
||
Linia 1:
{{Źródła|data=2013-06}}
[[Plik:Integral example.svg|thumb|Całka jako „zorientowane pole pod wykresem”: wartością całki z rzeczywistej funkcji <math>\scriptstyle f</math> na przedziale <math>\scriptstyle [a, b]</math> jest [[pole powierzchni]] obszarów zaznaczonych na niebiesko pomniejszone o pole obszaru oznaczonego kolorem żółtym.]]
'''Całka Riemanna''' – konstrukcja [[analiza matematyczna|analizy matematycznej]] przedstawiona przez niemieckiego matematyka [[Bernhard Riemann|Bernharda Riemanna]] w 1854 roku w jego [[habilitacja|pracy habilitacyjnej]] na [[Uniwersytet w Getyndze|Uniwersytecie w Getyndze]] pt. ''Ueber die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe'' („O reprezentowalności [[funkcja|funkcji]] przez [[szereg trygonometryczny]]”) jako pierwsza ścisła definicja [[całka|całki]]. Istnieje również [[#Równoważność|całkowicie równoważna całce Riemanna]] konstrukcja '''całki Darboux''', pochodząca od francuskiego matematyka [[Jean Darboux|Gastona Darboux]], który wprowadził ją w swojej pracy z 1870 roku zatytułowanej ''Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre'' („O [[równanie różniczkowe cząstkowe|równaniach różniczkowych cząstkowych]] drugiego rzędu”) i uzasadnił jej równoważność z całką Riemanna w 1875 roku w pracy pt. ''Mémoire sur la theorie des fonctions discontinues'' („Rozprawa o teorii [[funkcja ciągła|funkcji nieciągłych]]”).
Głównymi zaletami całki Riemanna są intuicyjność, klarowność definicji i stosunkowa łatwość wprowadzenia wystarczające częstokroć do większości zastosowań praktycznych; konstrukcja Darboux wymaga nieco mniejszej liczby pojęć niezbędnych do jej przeprowadzenia, przez co stanowi atrakcyjną alternatywę dla konstrukcji Riemanna. Do zasadniczych wad tych całek należy względnie mała ilość [[funkcja całkowalna|funkcji całkowalnych]], czy konieczność [[zbieżność jednostajna|zbieżności jednostajnej]] [[ciąg funkcyjny|ciągu funkcji]] przy zamianie operatorów [[granica ciągu|granicy]] i całki<ref group=uwaga name=note01>W przeciwieństwie do np. [[całka Lebesgue'a|całki Lebesgue'a]], czy [[całka Henstocka-Kurzweila|całki Henstocka-Kurzweila]] (zob. ''[[#Uogólnienia|Uogólnienia]]''), które przy dość łagodnych założeniach dodatkowych umożliwiają zamianę granicy z całką przy [[zbieżność punktowa|zbieżności punktowej]] ciągu funkcyjnego (por. [[twierdzenie Lebesgue'a|twierdzenia Lebesgue'a]] i [[lemat Fatou]]).</ref>, co znacząco zawęża zakres zastosowań teoretycznych. Istnieje [[#Uogólnienia|wiele uogólnień]] tego pojęcia mających na celu pokonanie różnorakich jego ograniczeń.
W swej interpretacji geometrycznej na płaszczyźnie całka to [[funkcja|operator]] przypisujący danej [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]] [[funkcja ograniczona|funkcji ograniczonej]] określonej na [[przedział (matematyka)|przedziale]] (rzeczywistym) pewną liczbę rzeczywistą, którą można rozumieć jako [[pole powierzchni]] między jej [[wykres funkcji|wykresem]] a [[oś odciętych|osią odciętych]] (pole zorientowane: jego znak zależy od znaku wartości funkcji) – istnienie i wartość tej liczby jest równoważne istnieniu i wartości tzw. ''[[miara Jordana|miary Jordana]]'' wspomnianego obszaru (zob. ''[[#Związek z miarą Jordana|Związek z miarą Jordana]]''). Sama całka Riemanna, podobnie jak miara Jordana, uogólnia się wprost na [[przestrzeń euklidesowa|przestrzenie euklidesowe]] dowolnego wymiaru, co opisano w [[#Całka wielokrotna|osobnej sekcji]].
Linia 38 ⟶ 39:
: <math>R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} = \sum_{i = 1}^n f(q_i) \cdot \Delta p_i.</math>
Funkcję <math>\scriptstyle f</math> nazywa się ''całkowalną w sensie Riemanna'' lub krótko ''R-całkowalną'', jeśli dla dowolnego ciągu normalnego <math>\scriptstyle (P^k)</math> podziałów przedziału <math>\scriptstyle [a, b],</math> istnieje (niezależna od wyboru punktów pośrednich) granica<ref group=uwaga name=note02>Jeżeli dla każdego ciągu normalnego przedziałów odpowiednie sumy Riemanna są zbieżne, to są one zbieżne to jednej i tej samej granicy. Niech <math>\scriptstyle (S^k)</math> oraz <math>\scriptstyle (U^k)</math> będą dwoma normalnymi ciągami podziałów przedziału <math>\scriptstyle [a,b].</math> Ciąg podziałów <math>\scriptstyle (P^k)</math> zdefiniowany jako <math>\scriptstyle S^1, U^1, S^2, U^2, S^3, U^3, \dots</math> jest normalny, a ponieważ funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna, więc granica <math>\scriptstyle \lim\limits_{k \to \infty} R_{f, P^k\left(q^k_1, \dots, q^k_{n_k}\right)}</math> istnieje i nie zależy od wyboru punktów pośrednich. Zatem dla podciągów <math>\scriptstyle \left(P^{2m}\right)</math> i <math>\scriptstyle \left(P^{2m+1}\right)</math> granice muszą być takie same (dowolny podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy), więc <math>\scriptstyle \lim\limits_{k \to \infty} S_{f, S_k} = \lim\limits_{k \to \infty} S_{f, U_k}.</math></ref>
: <math>R_f = \lim_{k \to \infty} R_{f, P^k\left(q_1^k, \dots, q_{n_k}^k\right)}</math>
nazywana wtedy '''całką Riemanna''' tej funkcji. Równoważnie: jeżeli istnieje taka liczba <math>\scriptstyle R_f,</math> że dla dowolnej liczby rzeczywistej <math>\scriptstyle \varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba rzeczywista <math>\scriptstyle \delta > 0,</math> że dla dowolnego podziału <math>\scriptstyle P(q_1, \dots, q_n)</math> o średnicy <math>\scriptstyle \mathrm{diam}\; P(q_1, \dots, q_n) < \delta;</math> bądź też w języku rozdrobnień: że dla dowolnej liczby rzeczywistej <math>\scriptstyle \varepsilon > 0</math> istnieje taki podział <math>\scriptstyle S(t_1, \dots, t_m)</math> przedziału <math>\scriptstyle [a, b],</math> że dla każdego podziału <math>\scriptstyle P(q_1, \dots, q_n)</math> rozdrabniającego <math>\scriptstyle S(t_1, \dots, t_m)</math> zachodzi
Linia 51 ⟶ 52:
Sumy Riemanna funkcji zawsze leżą między odpowiadającymi im dolnymi i górnymi sumami Darboux, tzn. dla podziału z punktami pośrednimi <math>\scriptstyle P(q_1, \dots, q_n)</math> i odpowiadającego mu podziału <math>\scriptstyle P</math> bez punktów pośrednich odcinka <math>\scriptstyle [a, b]</math> zachodzi
: <math>L_{f, P} \leqslant R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} \leqslant U_{f, P};</math>
więcej, są to kresy dolne i górne wartości <math>\scriptstyle R_{f, P(q_1, \dots, q_n)}</math> odpowiadającej podziałowi <math>\scriptstyle P(q_1, \dots, q_n)</math> z dowolnymi punktami pośrednimi<ref group=uwaga name=note03>Niech <math>\scriptstyle \varepsilon > 0;</math> wyznaczając <math>\scriptstyle q_i \in P_i</math> tak, by <math>\scriptstyle f(q_i) \geqslant M_{f, P_i} - \varepsilon/(b - a)</math> otrzymuje się <math>\scriptstyle R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} = \sum_{i = 1}^n f(q_i) \cdot \Delta p_i \geqslant \sum_{i = 1}^n \left(M_{f, P_i} - \varepsilon/(b - a)\right) \cdot \Delta p_i = U_{f, P} - \varepsilon,</math> co z dowolności <math>\scriptstyle \varepsilon > 0</math> oraz oszacowania <math>\scriptstyle U_{f, P} \geqslant R_{f, P(q_1, \dots, q_n)}</math> pociąga tezę dla kresu górnego; podobnie dowodzi się, że <math>\scriptstyle L_{f, P}</math> jest kresem dolnym <math>\scriptstyle R_{f, P(q_1, \dots, q_n)}.</math></ref>.
Stąd jeżeli całka Darboux istnieje, tzn. <math>\scriptstyle L_f = U_f,</math> to istnieje również <math>\scriptstyle R_f = D_f,</math> tak więc
Linia 59 ⟶ 60:
== Oznaczenia ==
[[Plik:Integral Uprightness.svg|thumb|Różne warianty typograficzne znaku całki – od lewej do prawej: symbolu pochylonego w prawo używa się przede wszystkim w krajach anglojęzycznych, symbol prosty pojawia się w publikacjach Europy Środkowej, symbol pochylony w lewo należy do tradycji rosyjskiej; w polskiej literaturze można spotkać każdy z wariantów.]]
Symbol całki {{unicode|∫}} powstał z [[minuskuła|minuskuły]] ſ (tzw. „[[długie s|długiego s]]”)<ref group=uwaga name=note04>Zob. również tzw. „[[esz (litera)|esz]]” ʃ.</ref> używanej przez [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfrieda Leibniza]] w łacińskim słowie ''summa'', oznaczającym sumę, które pisał on ''ſumma''. Dla funkcji <math>\scriptstyle f\colon [a, b] \to \mathbb R</math> całki Darboux górną <math>\scriptstyle U_f</math> i dolną <math>\scriptstyle L_f</math> oznacza się zwykle odpowiednio symbolami
: <math>\overline\int\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx, \qquad \underline\int\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx,</math>
zaś samą całkę Darboux <math>\scriptstyle D_f</math> oraz całkę Riemanna <math>\scriptstyle R_f</math> dodając przed nimi pierwszą literę nazwiska w nawiasie,
Linia 70 ⟶ 71:
Niech dla dowolnej funkcji R-całkowalnej <math>\scriptstyle f \colon [a, b] \to \mathbb R,</math> gdzie <math>\scriptstyle a \leqslant b,</math> będą dane jej [[kresy dolny i górny]] oraz kres górny [[wartość bezwzględna|wartości bezwzględnej]]:
: <math>m_f = \inf_{x \in [a, b]} f(x), \qquad M_f = \sup_{x \in [a, b]} f(x) \quad\mbox{ oraz }\quad K_f = \sup_{x \in [a, b]} \bigl|f(x)\bigr|.</math>
Wówczas<ref group=uwaga name=note05>Dla dowolnego podziału <math>\scriptstyle P(q_1, \dots, q_n)</math> oraz dowolnej sumy <math>\scriptstyle R_{f, P(q_1, \dots, q_n)}</math> zachodzi <math>\scriptstyle m_f \leqslant f(q_i) \leqslant M_f</math> (<math>\scriptstyle i = 1, \dots, n</math>), zatem <math>\scriptstyle m_f(b - a) \leqslant R_f \leqslant M_f(b - a),</math> gdyż <math>\scriptstyle b - a = \Delta p_1 + \dots + \Delta p_n.</math></ref>
: <math>m_f(b - a) \leqslant \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx \leqslant M_f(b - a),</math>
skąd też<ref group=uwaga name=note06>Wynika wprost z powyższego na mocy nierówności <math>\scriptstyle -K_f \leqslant m_f \leqslant M_f \leqslant K_f.</math></ref>
: <math>\left|\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx\right| \leqslant K_f(b - a),</math>
zaś dla funkcji <math>\scriptstyle f</math> spełniającej <math>\scriptstyle f(x) \geqslant 0</math> dla wszystkich <math>\scriptstyle x \in [a, b]</math> zachodzi<ref group=uwaga name=note07>Wynika wprost z powyższego, gdyż <math>\scriptstyle m_f \geqslant 0.</math></ref>
: <math>\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx \geqslant 0.</math>
Całka Riemanna jest [[przekształcenie liniowe|operatorem liniowym]] na przestrzeni funkcji całkowalnych w sensie Riemanna: jeżeli <math>\scriptstyle f, g</math> są R-całkowalne oraz <math>\scriptstyle c, d \in \mathbb R,</math> to funkcja <math>\scriptstyle cf + dg</math> również jest całkowalna w sensie Riemanna i zachodzi<ref group=uwaga name=note08>[[Funkcja addytywna|Addytywność]] <math>\scriptstyle R_{f \pm g} = R_f \pm R_g</math> wynika stąd, iż dla ustalonego podziału <math>\scriptstyle P(q_1, \dots, q_n)</math> zachodzi równość sum częściowych <math>\scriptstyle R_{f \pm g, P(q_1, \dots, q_n)} = R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} \pm R_{g, P(q_1, \dots, q_n)},</math> która wraz ze zbieżnością sum po prawej stronie pociąga zbieżność sum po lewej stronie będących odpowiednio całką Riemanna z sumy funkcji <math>\scriptstyle f \pm g</math> oraz sumą całek Riemanna z funkcji <math>\scriptstyle f</math> i <math>\scriptstyle g.</math> Podobnie dowodzi się [[funkcja jednorodna|jednorodności]] <math>\scriptstyle R_{cf} = cR_f.</math></ref>
: <math>\int\limits_a^b c f(x) + d g(x)\ \mathrm dx = c \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx + d \int\limits_a^b g(x)\ \mathrm dx.</math>
{{Osobny artykuł|podstawowe twierdzenie rachunku całkowego}}
Jeśli <math>\scriptstyle f</math> jest całkowalna w sensie Riemanna, to jest ona całkowalna na <math>\scriptstyle [a, x]</math> dla dowolnego <math>\scriptstyle x \in [a, b],</math> a funkcja <math>\scriptstyle F\colon [a,b] \to \mathbb R</math> dana wzorem
Linia 86 ⟶ 87:
jest [[funkcja ciągła|ciągła]] na <math>\scriptstyle [a, b]</math> i [[pochodna|różniczkowalna]] w każdym punkcie ciągłości funkcji <math>\scriptstyle f.</math>
Jeśli <math>\scriptstyle f</math> jest ciągła, a <math>\scriptstyle F</math> jest jej dowolną [[funkcja pierwotna|funkcją pierwotną]], to zachodzi tzw. ''wzór Newtona-Leibniza'',
: <math>\int\limits_a^b f(x) \mathrm dx = F(b) - F(a).</math>
{{zobacz też|funkcja całkowalna|zbiór miary zero|o2=zbiór zaniedbywalny}}
Z [[#Równoważność|równoważności konstrukcji]] funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna w sensie Darboux; w tej części artykułu funkcje całkowalne na jeden z tych dwóch sposobów będą nazywane po prostu funkcjami całkowalnymi. Niech dana będzie funkcja <math>\scriptstyle f\colon [a, b] \to \mathbb R.</math> Każda [[funkcja ciągła]] <math>\scriptstyle f</math> jest całkowalna<ref group=uwaga name=note09>Funkcja <math>\scriptstyle f</math> jest [[funkcja jednostajnie ciągła|jednostajnie ciągła]] (jako określona na przedziale domkniętym) wynika, że dla dowolnego <math>\scriptstyle \varepsilon > 0</math> istnieje podział <math>\scriptstyle P</math> odcinka <math>\scriptstyle [a, b]</math> o oscylacjach <math>\scriptstyle \omega_{f, P_i} < \varepsilon/(b - a)</math> (<math>\scriptstyle i = 1, \dots, n</math>); stąd <math>\scriptstyle U_{f, P} - L_{f, P} = \sum_{i = 1}^n \omega_{f, P_i} \cdot \Delta p_i < \varepsilon/(b - a) \sum_{i = 1}^n \Delta p_i = \varepsilon,</math> zatem funkcja <math>\scriptstyle f</math> jest D-całkowalna.</ref>; podobnie, gdy <math>\scriptstyle f</math> jest [[funkcja monotoniczna|monotoniczna]]<ref group=uwaga name=note10>Niech dla ustalenia uwagi funkcja <math>\scriptstyle f</math> będzie [[funkcja monotoniczna|niemalejąca]]; jeśli <math>\scriptstyle P</math> jest podziałem <math>\scriptstyle [a, b]</math> spełniającym <math>\scriptstyle \left(f(b) - f(a)\right) \cdot \mathrm{diam}\; P \leqslant \varepsilon</math> dla dowolnie wybranego <math>\scriptstyle \varepsilon > 0,</math> to <math>\scriptstyle \omega_{f, P_i} < f(p_i) - f(p_{i-1})</math> (<math>\scriptstyle i = 1, \dots, n</math>), czyli <math>\scriptstyle U_{f, P} - L_{f, P} = \sum_{i = 1}^n \omega_{f, P_i} \cdot \Delta p_i \leqslant \sum_{i = 1}^n \omega_{f, P_i} \cdot \mathrm{diam}\; P \leqslant \left(f(b) - f(a)\right) \cdot \mathrm{diam}\; P \leqslant \varepsilon,</math> skąd wynika D-całkowalność funkcji <math>\scriptstyle f.</math></ref>.
Dokładnego wskazania klasy funkcji całkowalnych można dokonać za pomocą [[teoria miary|teorii miary]]; nie mniej funkcje te można opisać definiując pojęcie nieodwołujące się do ogólnej teorii: zbiór <math>\scriptstyle E \subseteq \mathbb R</math> nazywa się ''zaniedbywalnym''<ref group=uwaga name=note11>Dowodzi się, że zbiory zaniedbywalne w powyższym sensie odpowiadają dokładnie tzw. [[zbiór miary zero|zbiorom miary Lebesgue'a zero]], tzn. zbiorom, których [[miara Lebesgue'a]] jest równa zeru.</ref> wtedy i tylko wtedy, gdy można [[pokrycie zbioru|pokryć]] go (co najwyżej) [[zbiór przeliczalny|przeliczalną]] liczbą dowolnie krótkich odcinków, tzn. dla każdego <math>\scriptstyle \varepsilon > 0</math> istnieje (co najwyżej) przeliczalny ciąg przedziałów <math>\scriptstyle (I_n)</math> spełniający <math>\scriptstyle E \subseteq \bigcup_n I_n</math> oraz <math>\scriptstyle \sum_n |I_n| < \varepsilon.</math> Przykładami takich zbiorów są np. [[punkt (geometria)|punkt]], tj. zbiór jednoelementowy, dowolne [[zbiór skończony|zbiory skończone]] lub przeliczalne; [[kontrprzykład]]ami są [[odcinek]], czyli przedział, bądź dowolny [[zbiór otwarty]].
'''Twierdzenie''': [[Funkcja ograniczona]] określona na przedziale domkniętym jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest [[zbiór miary zero|prawie wszędzie]] [[funkcja ciągła|ciągła]], tzn. zbiór jej nieciągłości jest zaniedbywalny.
Linia 114 ⟶ 115:
Jako pierwsza formalnie zdefiniowana, całka Riemanna jest prototypem wszystkich innych całek, choć konstrukcje wielu z nich są daleko bardziej ogólne, niż przedstawione wyżej; nie mniej zwykle wymaga się, by dane uogólnienie całki dawało dla funkcji całkowalnej w sensie Riemanna/Darboux ten sam wynik, co całka Riemanna/Darboux nazywana dalej po prostu całką Riemanna. Pełniejszą listę całek można znaleźć w [[całka|osobnym artykule]].
{{Osobny artykuł|całka Riemanna-Stieltjesa}}
Zastąpienie w definicji całki Riemanna końców podprzedziałów danego podziału za pomocą ich obrazów w pewnej funkcji prowadzi do uogólnienia znanego jako ''całka Riemanna–Stieltjesa''; dla dość szerokiej klasy funkcji jest ona równa całce Riemanna, jednak w ogólności może dawać ona różne od niej wyniki. Wykazuje ona duży związek z [[całkowanie przez podstawienie|całkowaniem przez podstawienie]] znajdując zastosowanie w [[teoria prawdopodobieństwa|rachunku prawdopodobieństwa]] (zbudowanym w oparciu o tę całkę).
{{Osobny artykuł|całka Lebesgue'a|całka Daniella-Stone'a|całka Lebesgue'a-Stieltjesa}}
Ważnym uogólnieniem całki Riemanna jest ''całka Lebesgue'a'', która jest równoważna z tzw. ''całką Daniella–Stone'a'': funkcja całkowalna w sensie Riemanna jest też całkowalna w sensie Lebesgue'a (Daniella–Stone'a), a ponadto wartości obu całek wtedy są równe. Przykładem funkcji, która jest całkowalna w sensie Lebesgue'a (Daniella–Stone'a), a nie jest całkowalna w sensie Riemanna jest [[funkcja Dirichleta]]. Dalszym uogólnieniem, łączącym w sobie zalety całki Lebesgue'a i Riemanna–Stieltjesa, jest ''całka Lebesgue'a–Stieltjesa'' nazywana również ''całką Lebesgue'a–Radona'' lub po prostu ''całką Radona''.
[[Plik:Improper integral.svg|thumb|Całka niewłaściwa pozwala na obliczenie pola pod wykresem funkcji nieograniczonej na przedziale ograniczonym i funkcji ograniczonej na przedziale nieograniczonym.]]
{{Osobny artykuł|całka niewłaściwa}}
W każdej z powyższych konstrukcji problematyczne bywa całkowanie funkcji na przedziale otwartym, w szczególności gdy funkcja jest nieograniczona przy jednym z jego końców. Mówiąc o ''całce niewłaściwej'', definiowanej jako granica całek określonych na przedziale domkniętym, którego jeden koniec dąży do końca przedziału otwartego, ma się zwykle na myśli uogólnienie całki Riemanna. Nie mniej możliwe jest analogiczne uogólnienie całki Lebesgue'a. Rozpatrywanie całki niewłaściwej dla opisanej niżej całki Henstocka–Kurzweila nie ma sensu, gdyż standardowa wersja tej całki daje ten sam wynik, o czym mówi [[twierdzenie Hake'a]]. Oddzielnym zagadnieniem całki niewłaściwe są tzw. przedziały niewłaściwe, tzn. których końce nie muszą być liczbami rzeczywistymi.
{{Osobny artykuł|całka Henstocka-Kurzweila}}
''Całka Henstocka–Kurzweila'' znana również jako ''całka Denjoy'', czy ''Perrona'' (albo ''Denjoy–Perrona'') jest pewnym uogólnieniem całki Riemanna o konstrukcji znacząco od niej nie odbiegającej. W ogólności teoria Henstocka-Kurzweila umożliwia całkowanie wszystkich funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a oraz funkcji całkowalnych w sposób niewłaściwy w sensie Riemanna, co uważane jest za jej główną zaletę. Drobna zmiana definicji całki Henstocka–Kurzweila nazywana ''całką McShane'a'' jest równoważna z konstrukcji Lebesgue'a – ma ona wszystkie jej zalety, a przy tym nie wymaga ogólnego aparatu [[teoria miary|teorii miary]].
{{
[[Kategoria:Całki|Riemanna]]
| |||