Pole powierzchni: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
Addbot (dyskusja | edycje)
m Bot: Przenoszę 116 linków interwiki do Wikidata, znajdziesz je teraz w zasobie d:q11500
Rrudzik (dyskusja | edycje)
Linia 1:
'''Pole powierzchni''' (potocznie po prostu ''powierzchnia'' [[Figura płaskageometryczna|figury]] lub ''pole'' figury) – [[miara (matematyka)|miara]], przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.
 
Ścisła definicja wymaga wykonania pewnej konstrukcji.
Linia 25:
:: <math>\{(x,y): 0<x<1,\ 0<y<1,\ x</math> jest niewymierny lub <math>\ {y}</math> jest niewymierny<math> \left \} \right.</math>
: są rozłączne i oba mają zewnętrzną miarę Jordana równą 1. [[Suma zbiorów|Suma]] tych dwóch figur (czyli wnętrze kwadratu) ma pole równe 1, skąd możemy wnioskować że pola naszych figur nie można zdefiniować używając podejścia Jordana.
* Istnienie nietrywialnej [[Funkcja|funkcji]], którą dałoby się zmierzyć dowolną figurę i która dla dowolnego ciągu przeliczalnego [[figuryzbiory rozłączne|rozłącznych figur]] dawałaby wynik równy ich sumie jest niedowodliwe w standardowym systemie aksjomatów [[Aksjomaty Zermelo-Fraenkela|ZFC]].
* [[Zbiór Vitalego]] i [[zbiór Bernsteina]] (istniejące przy założeniu [[Aksjomat wyboru|aksjomatu wyboru]]) są niemierzalne w sensie Lebesgue'a.
* Przy założeniu aksjomatu wyboru istnieje skończenie addytywna miara mierząca wszystkie podzbiory przestrzeni.
* Przy założeniu [[Aksjomat determinacji|AD]], wszystkie podzbiory przestrzeni euklidesowych są [[zbiórPrzestrzeń mierzalnymierzalna|mierzalne]] w sensie Lebesgue'a.
* Jeśli istnieje [[liczba mierzalna]], to jest niesprzeczne że [[Continuum (topologia)|continuum]] jest rzeczywiście mierzalne i że istnieje [[Miara (matematyka)|miara]] na płaszczyźnie mierząca wszystkie jej podzbiory.
 
== Definicja szkolna ==
Linia 47:
* [[Równoległobok]] o bokach ''a'' i ''b'' oraz kącie α między nimi: <math>S=ab\sin{\alpha}\,</math>
** [[Prostokąt]] o bokach ''a'' i ''b'': <math>S=ab\,</math>; o przekątnej ''p'' i [[Stosunek (matematyka)|stosunku proporcji boków]] ''ratio'': <math>S=\frac{p^2}{\frac{1}{ratio}+ratio}</math>
** [[Kwadrat (geometria)|Kwadrat]] o boku ''a'': <math>S=a^2\,</math>; o przekątnej ''p'': <math>S=\frac{p^2}{2}</math>
* pole obszaru ograniczonego przez [[Elipsa (matematyka)|elipsę]] o półosiach ''a'' i ''b'': <math>S=\pi ab\,</math>
* [[Koło (geometria)|Koło]] o promieniu ''r'': <math>S=\pi r^2\,</math>
* [[Trójkąt]] o podstawie ''a'', wysokości ''h'' i kącie α między bokami ''c'' i ''d'': <math>S=\frac{ah}{2}=\frac{cd\sin{\alpha}}{2}</math>
* [[Wielokąt foremny]] (''n'' - liczba boków, ''r'' – promień [[okrąg wpisany|okręgu wpisanego]] w wielokąt, ''R'' – promień [[Okrąg opisany na wielokącie|okręgu opisanego]], ''a'' – bok wielokąta):