Twierdzenie Stokesa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Wzór Gaussa-Ostrogradskiego: drobne redakcyjne |
R^3 |
||
Linia 1:
[[Plik:Stokes George G.jpg|thumb|right|[[George Gabriel Stokes]] (1819-1903)]]
'''Twierdzenie Stokesa''' – w najczęściej spotykanym przypadku trójwymiarowym, twierdzenie mówiące, że [[cyrkulacja]] pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym [[Krzywa Jordana|konturze]] gładkim jest równa strumieniowi [[rotacja|rotacji]] pola przez dowolną powierzchnię ograniczoną tym konturem. Twierdzenie to odgrywa ważną rolę w [[teoria pola (fizyka)|teorii pól]]. Używane jest w [[mechanika płynów|mechanice płynów]], [[równania Maxwella|równaniach Maxwella]] i wielu innych. [[Twierdzenie Greena|Twierdzenia Greena]] i [[Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa|Ostrogradskiego-Gaussa]] można traktować jako szczególne przypadki twierdzenia Stokesa.
== Twierdzenie Stokesa w przestrzenie <math> \mathbb{R}^3</math> ==
Jeżeli <math>\Sigma</math> jest płatem powierzchni w <math> \mathbb{R}^3</math>, a <math>\partial \Sigma</math> jego gładkim, zorientowanym dodatnio konturem, to dla dowolnego [[pole wektorowe|pola wektorowego]] <math>F \colon= P\vec{i} + Q\vec{j} + R\vec{k}</math>, (gdzie <math>F \in C^{1}(\bar{\Sigma})</math> mamy:
:<math>\oint\limits_{\partial \Sigma}\vec{F}d(\vec{\partial \Sigma}) = \iint\limits_{\Sigma}\mbox{rot}\vec{F}d\vec{\Sigma}</math>
==== Dowód ====
Niech <math>\Sigma = \{r(s,t),\, (s,t)\in D\}</math>, gdzie <math>r(s,t)=(x(s,t),\,y(s,t),\,z(s,t))</math> oraz <math>r(D) = \Sigma</math>. Wówczas wykorzystując [[reguła łańcuchowa|regułę łańcuchową]] oraz wzór na [[całka krzywoliniowa|całkę krzywoliniową]] (tu krzywą jest <math>r(s,t)</math>) otrzymujemy równość:
:<math>\oint\limits_{\partial \Sigma}Pdx = \oint\limits_{\partial D}(P\circ r)(x'_s ds + x'_t dt)</math>
<small>(Analogiczne wzory zachodzą dla składowych <math>Q</math> i <math>R</math>)</small>
A więc z [[Twierdzenie Greena|twierdzenia Greena]] mamy:
:<math>\oint\limits_{\partial \Sigma}Pdx = \iint\limits_{D}\left(\frac{\partial}{\partial s}((P\circ r)x'_t)-\frac{\partial}{\partial t}((P\circ r)x'_s)\right)ds\,dt</math>
Po prawej stronie powyższej równości stosujemy wzór na pochodną iloczynu oraz [[reguła łańcuchowa|regułę łańcuchową]] i otrzymujemy:
:<math>\oint\limits_{\partial \Sigma}Pdx = \iint\limits_{D}\left(\frac{\partial P}{\partial y}(x'_t y'_s - x'_s y'_t)+\frac{\partial P}{\partial z}(x'_t z'_s - x'_s z'_t)\right)ds\,dt</math>
Gdy przeprowadzimy analogiczne rozumowania dla składowych <math>Q</math> i <math>R</math> i wyniki zsumujemy, otrzymamy:
:<math>\oint\limits_{\partial \Sigma}\vec{F}d(\vec{\partial \Sigma})=\iint\limits_{
D}(\mbox{rot}F(s,t))\circ \vec{n}(s,t) ds\,dt</math>,
gdzie <math>\vec{n}(s,t) = r'_x \times r'_y</math>
Jednak prawa strona powyższego równanie jest strumieniem pola wektorowego <math>\mbox{rot}F</math> przez płat <math>\Sigma</math>. Co daje tezę.
== Najogólniejsza wersja twierdzenia Stokesa ==
| |||