Interwał czasoprzestrzenny: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja nieprzejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
m Anulowanie wersji nr 36736375 autora 89.65.5.6 w artykule jest stosowana jedna sygnatura, co było powiedziane wcześniej
Nie podano opisu zmian
Linia 10:
: {{wzór|<math>\text{d} s^2 = c^2\text{d}t^2-(\text{d} x^2+\text{d} y^2+\text{d} z^2)\;.</math>|2}}
 
Interwał między dwoma zdarzeniami czasoprzestrzennymi nie jest [[Niezmiennik relatywistyczny|niezmiennikiem]] [[transformacja Lorentza|transformacji Lorentza]].
 
Istnieje również konwencja, w której do obliczenia interwału czasoprzestrzennego przy odstępie czasowym stawia się znak -, zaś część przestrzenna ma znak +. Jest to zależne od [[sygnatura|sygnatury]] [[tensor metryczny|tensora metrycznego]]. Powyższe wzory zakładają sygnaturę "+ - - -".
Linia 22:
Interwał czasoprzestrzenny w [[Ogólna teoria względności|ogólnej teorii względności]] można otrzymać poprzez zastąpienie tensora z przestrzeni Minkowskiego <math>\eta_{\mu\nu}</math> przez tensor metryczny OTW <math>g_{\mu\nu}\;</math>:
{{wzór|<math>\Delta s^2=g_{\mu\nu}\Delta x^{\mu}\Delta x^{\nu}=\Delta x_{\mu}\Delta x^{\mu}\;</math>|5}}
<!---->Gdy przyjmiemy sygnaturę w szczególnej teorii względności lub w układzie lokalnie płaskim w ogólnej teorii względności w postaci:<math>(-1,1,1,1)\;\;</math>, to interwał czasoprzestrzenny będzie wyrażony wzorem:
{{wzór|<math>\Delta s^2=-g_{\mu\nu}\Delta x^{\mu}\Delta x^{\nu}=-\Delta x_{\nu}\Delta x^{\nu}\;</math>|6}}
a w szczególnej teorii względności:
{{wzór|<math>\Delta s^2=-\eta_{\mu\nu}\Delta x^{\mu}\Delta x^{\nu}=-\Delta x_{\nu}\Delta x^{\nu}\;</math>|7}}
Dla obu sygnatur stosowanych w [[Szczególna teoria względności|szczególnej teorii względności]] lub w [[Ogólna teoria względności|ogólnej teorii względności]] interwał czasoprzestrzenny jest tak zdefiniowany, by miał nieujemną formę kwadratową.
W obu teoriach względności (w ogólnej teorii względności przy założeniu lokalnej płaskości) sygnatura tensora tensora metrycznego Minkowskiego jest określona następująco:&nbsp; <math>\left(1,-1,-1,-1\right)\;</math>,&nbsp; lub&nbsp;  jako:&nbsp; <math>\left(-1,1,1,1\right)\;</math>.
 
W obu teoriach względności (w ogólnej teorii względności przy założeniu lokalnej płaskości) sygnatura tensora tensora metrycznego Minkowskiego jest określona następująco:&nbsp;<math>\left(1,-1,-1,-1\right)\;</math>,&nbsp;lub&nbsp; jako:&nbsp;<math>\left(-1,1,1,1\right)\;</math>.
 
W szczególnej teorii względności, zgodnie z pierwszą sygnaturą:
{{wzór|<math>\Delta s^2=\eta_{\mu\nu}\Delta x^{\mu}\Delta x^{\nu}=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2=c^2\Delta t^2-\Delta s^2=\;</math>
<math>=c^2\left<nowiki>[1-\left({{\Delta s}\over{\Delta t}}\right)^2/c^2\right]</nowiki>\Delta t^2=c^2\left(1-<nowiki>{{v^2}\over{c^2}}</nowiki>\right)\Delta t^2\Rightarrow \Delta s=c\sqrt{1-<nowiki>{{v^2}\over{c^2}}</nowiki>}\Delta t\;</math>|8}}
Ten sam wynik uzyskuje się stosując drugą rozważaną sygnaturę.
 
Korzystając z równania {{LinkWzór|7}}, gdy różnica czasów jest infitezymalnie mała, długość linii światła w czasoprzestrzeni Minkowskiego można przedstawić całką:
{{wzór|<math>\Delta s=\int_{t_1}^{t_2} ds(t)=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-<nowiki>{{v^2(t)}\over{c^2}}</nowiki>}dt\;</math>|9}}<-->
W ogólnej teorii względności interwał czasoprzestrzenny także jest niezmienniczy, czyli jego wartość jest taka sama we wszystkich układach odniesienia, również w poruszających się z przyspieszeniem względem danego układu odniesienia.<!-- W układzie lokalnie płaskim w ogólnej teorii względności interwał w czasoprzestrzeni Minkowskiego, w którym wyrażenie <math>\Delta s^2\geqslant 0\;</math> według wzoru {{LinkWzór|7}} dla dwóch punków, w którym dana cząstka znajduje się w dwóch określonych czasach poruszający się w sposób jednostajny, ale <math>|\vec{v}|\leqslant c\;</math>, zgodnie z twierdzeniem z algebry w innym układzie odniesienia dowolna forma kwadratowa(interwał czasoprzestrzenny) ma wartość nieujemną z ostatnich rozważań dodając infitezymalne interwały, dochodzimy do wniosku, że długość linii światła {{LinkWzór|8}} też ma wartość nieujemną.-->