Suma Gaussa

Sumy Gaussa - sumy pewnych pierwiastków z jedynki odgrywające dużą rolę w teorii liczb. Ich najważniejsze własności zostały udowodnione przez Carla Friedricha Gaussa, który wykorzystał je w jednym z dowodów prawa wzajemności reszt kwadratowych.

Definicja

Niech $p$ będzie liczbą pierwszą, zaś $a$ liczbą całkowitą. Wówczas suma Gaussa jest zadana wzorem

$g(a,p)=\sum _{n=0}^{p-1}e^{2\pi ian^{2}/p}=\sum _{n=0}^{p-1}e_{p}(an^{2})$,

gdzie $e_{p}(x)=e^{2\pi ix/p}$.

Dla $a$ niepodzielnych przez $p$ (w przeciwnym wypadku suma jest równa $p-1$) równoważnie można ją zapisać jako

$g(a,p)=\sum _{n=0}^{p-1}\left({\frac {n}{p}}\right)e^{2\pi ian/p}$,

gdzie $\left({\frac {n}{p}}\right)$ jest symbolem Legendre'a.

Własności

• Do wyznaczenia wartości sum Gaussa wystarczy wyznaczenie $g(1,p)$

$g(a,p)=\left({\frac {a}{p}}\right)g(1,p)$

• Dokładna wartość $g(1,p)$ wyliczona przez Gaussa wynosi

$g(1;p)={\begin{cases}{\sqrt {p}}&p\equiv 1\mod 4\\i{\sqrt {p}}&p\equiv 3\mod 4\end{cases}}.$

• Dowód tego, że wartość bezwzględna $g(1,p)$ wynosi ${\sqrt {p}}$ jest prosty:

$g(1,p)^{2}=\sum _{m_{1}=1}^{p-1}\sum _{m_{2}=1}^{p-1}\left({\frac {m_{1}m_{2}}{p}}\right)e_{p}(m_{1}+m_{2})=\sum _{m_{1}=1}^{p-1}\sum _{n=1}^{p-1}\left({\frac {n}{p}}\right)e_{p}(m_{1}+m_{1}n)=p\left({\frac {-1}{p}}\right)+\sum _{n=1}^{p-1}\left({\frac {n}{p}}\right)(-1)=p\left({\frac {-1}{p}}\right)$, gdyż

$\sum _{m=1}^{p-1}e_{p}(m(n+1))={\begin{cases}p-1&n\equiv -1\mod p\\-1&{\textrm {w\,przeciwnym\,przypadku}}.\end{cases}}$.

• Ogólnie dla dowolnej sumy $S(N)=\sum _{n=0}^{N-1}e^{2\pi in^{2}/N}$, gdzie $N$ jest liczbą całkowitą, zachodzi

$S(N)={\begin{cases}(1+i){\sqrt {N}}&N\equiv 0\mod 4\\{\sqrt {N}}&N\equiv 1\mod 4\\0&N\equiv 2\mod 4\\i{\sqrt {N}}&N\equiv 3\mod 4\end{cases}}.$

Bibliografia

• Harold Davenport, Multiplicative Number Theory, Springer (2000).