Twierdzenie Bernsteina o letargu

Twierdzenie Bernsteina o letargu - twierdzenie teorii aproksymacji udowodnione przez Siergieja Bernsteina mówiące o szybkości zbieżności ciągu przybliżeń.

Sformułowanie

Niech $V_{1}\subset V_{2}\subset \ldots$ będzie wstępującym ciągiem różnych, skończenie wymiarowych podprzestrzeni liniowych przestrzeni Banacha $X$ nad ciałem $\mathbb {R}$ lub $\mathbb {C}$. Wtedy dla dowolnego ciągu $\epsilon _{1}\geq \epsilon _{2}\geq \ldots$ liczb nieujemnych zbieżnego do zera istnieje element $x\in X$, taki że dla każdego $n$

$dist(x,V_{n}):=\inf\{||x-v||:v\in V_{n}\}=\epsilon _{n}.$

Aproksymacja wielomianami

Zgodnie z twierdzeniem Stone'a-Weierstrassa dowolną funkcję ciągłą można przybliżać wielomianami z dowolną dokładnością. Twierdzenie o letargu mówi, że dokładność tych przybliżeń wraz ze wzrostem stopnia wielomianu przybliżającego może zmieniać się dowolnie wolno. Aby uzyskać szybką zbieżność konieczne jest jakieś założenie o regularności funkcji.

Bibligrafia

• W. Pleśniak, Wykłady z teorii aproksymacji, Wydawnictwo Uniwesytetu Jagiellońskiego, Kraków 2000.