Ekstremum funkcji: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
drobne redakcyjne |
→Funkcje określone na podzbiorach płaszczyzny: Merytoryczna i techniczna |
||
Linia 228:
\end{matrix}\right. </math> (rozwiązując ten układ równań)<ref>W przypadku funkcji różniczkowalnej <math>\scriptstyle{z=f(x,y)}</math> równości te mają prosty sens geometryczny: [[płaszczyzna styczna]] do powierzchni <math>\scriptstyle{z=f(x,y)}</math> w jej punkcie odpowiadającym ekstremum powinna być równoległa do płaszczyzny <math>\scriptstyle{xy.}</math></ref>
# Dla każdego punktu z osobna badamy znak [[hesjan|wyznacznika Hessego]]<br /><br /><math>\delta(x_0,y_0)=\left|\begin{array}{ll}f^{\prime\prime}_{xx}(x_0,y_0) & f^{\prime\prime}_{xy}(x_0,y_0) \\ f^{\prime\prime}_{yx}(x_0,y_0) & f^{\prime\prime}_{yy}(x_0,y_0)\end{array}\right|</math><br /><br />Na mocy [[lemat Schwarza|lematu Schwarza]] <math>f^{\prime\prime}_{xy}(x_0,y_0)=f^{\prime\prime}_{yx}(x_0,y_0),\,</math> więc<br /><br /><math>\delta(x_0,y_0)=f^{\prime\prime}_{xx}(x_0,y_0)f^{\prime\prime}_{yy}(x_0,y_0)-(f^{\prime\prime}_{xy}(x_0,y_0))^2.</math>
# Jeżeli w danym punkcie <math>(x_0, y_0)\,</math> wyznacznik <math>\delta(x_0,y_0)<0,\,</math> to w tym punkcie nie ma ekstremum, jeśli <math>\delta(x_0,y_0)=0,\,</math> to w pewnych przypadkach może istnieć ekstremum, a pewnych nie<ref>np. funkcja <math>\scriptstyle{f(x,y)=x^4+y^4}</math> ma w punkcie <math>\scriptstyle{(0,0)}</math> minimum, natomiast funkcja <math>\scriptstyle{g(x,y)=x^3+y^2}</math> nie ma w punkcie <math>\scriptstyle{(0,0)}</math> ekstremum lokalnego</ref>. I ostatecznie, jeżeli <math>\delta(x_0,y_0)>0,\,</math> to istnieje ekstremum lokalne w tym punkcie,
:*
:*
=== Przykład ===
| |||