Płaszczyzna w: Różnice pomiędzy wersjami

'''Płaszczyzna w''' - – płaszczyzna powstała z przekształcenia [[płaszczyzna Z|płaszczyzny "z"Z]] na płaszczyznę z (nową) zmienną "w"„w”, która zastępuje zmienną "z"„z” przez podstawienie:

jest to tak zwane '''przekształcenie "w"„w”'''.

Powyższa zależność opisuje w istocie tak zwanetzw. przekształcenie bilinearne stosowane też do przekształcania płaszczynypłaszczyzny "s"S na płaszczyznę "z"Z (zob. [[metoda Tustina]]).

Dokonując przekształcenia płaszczyzny zZ na płaszczyznę w, do transmitancji <math>G(z)\,</math> podstawia się:

:<math>z=\frac{\frac{2}{T}+w}{\frac{2}{T}-w}=\frac{m+w}{m-w}</math>,

Należy przy tym zauważyć, że dziedzina "w" „w” nie jest tym samym co zespolona dziedzina "s"„s” przekształcenia Laplace'a. Aby wynik transformaty bilinearnej stał się równy dziedzinie "s"„s”, sygnał musi być odpowiednio przekształcony, by odpowiednio uwzględnić [[układ nieliniowy|nieliniową]] naturę transformaty bilinearnej (podobny wymóg występuje, gdy przekształcenie bilinearne używane jest do przekształcania płaszczyzny "s"S na płaszczyznę "z"Z).

CzęstotliowściCzęstotliwości dziedziny "w"„w” związane są z częstotliwościami dziedziny "s"„s” następującą zależnością:

:<math>\omega_w = \frac{2}{T} \operatorname{tg} \left( \frac{ \omega_s T}{2} \right)</math>.

Aby przeciwdziałać skutkom zwichrowania częstotliwości, można dokonać uprzedniego zwichrowania (ang. ''pre-warp'') równania dziedziny "z"„z” wykorzystując odwrotną charakterystykę zwichrowania. Jeśli równanie zostanie poddane uprzedniemu zwichrowaniu przed trasformacjątransformacją, to położenie [[biegun układu|biegunów układu]] po transformacji bedąbędzie wierniej odzwierciedlać ich położenie z dziedziny "s"„s”. W dziedzinie częstotliwości dokonuje się więc podstawienia:

<math>w=j\omega_{w}=j \frac{2}{T}\operatorname{tg} \frac{\omega T}{2}\,</math>.

Transformacja "w"„w” motywowana jest tym, że transmitancja dyskretna <math>G(z)\,</math> po podstawieniu <math>z = e^{j\omega T}\,</math> staje się zazwyczaj [[funkcja niewymierna|funkcją niewymierną]] i dlatego nie ma możliwości prowadzenia dalszej analizy dyskretnych charakterystyk częstotliwościowych na [[płaszczyzna Z|płaszczyźnie Z]]. Wówczas wyjściem z tej trudności jest transformacja płaszczyzny Z na płaszczyznę „w”.

Aby prowadzić analizę częstotliwościową [[układ dyskretny|układów dyskretnych]], dokonuje się podstawienia korzystając z powyższych równości, tak by z <math>G(z)\,</math> otrzymać <math>G j\omega w\,</math> ; następnie transmitancja ta może zostać przedstawiana w postaci wykresu Bodego albo wykresu Nyquista.