Energia potencjalna: Różnice pomiędzy wersjami

Siła zewnętrzna potrzebna do przemieszczenia ciała o masie '''''m''''' w polu grawitacyjnym ciała o znacznie większej masie '''''M (''będącej ''' (będącej źródłem [[pole grawitacyjne|pola grawitacyjnego]]''''') ''ma postać:

: '' '''r''''' – odległość między środkiem ciała o masie '''''M''''' a ciałem o masie '''''m'''''

: '''''G''''' – [[Stała grawitacji|stała grawitacyjna]] [N·m²·kg^–2],

: '''''M''''' – masa źródła pola grawitacyjnego [kg],

: '''''m''''' – masa przenoszonego ciała [kg].

Za poziom odniesienia, energia równa 0, najwygodniej jest przyjąć [[nieskończoność]], gdzie siła oddziaływania wynosi 0. Zgodnie z definicją energia potencjalna ciała w położeniu <math>\vec r</math> określanego względem środka masy '''''M ''''' jest równa pracy potrzebnej do przeniesienia ciała z punktu odniesienia (w nieskończoności) do położenia <math>\vec r</math>'':''

: <math>E_p(\vec r)=\!\!\!\int\limits_{\infty }^{r}\vec F_z(\vec r) d\vec r\!</math>
Ponieważ wektor przemieszczenia <math>\vec dr=-dr\frac{\vec r}{r}</math> , gdzie <math>dr</math> - przyrost wektora <math>\vec r</math> , to mamy:

<math>E_p(r)=\!\!\!\int\limits_{\infty }^{r}{\frac{GMm}{r^{2}}}dr\!\!

=-\frac{GmM}{r}\!\bigg|_{\infty}^r =-GmM\!\!left( \frac{1}{r}-0 \right)</math>

<nowiki> </nowiki>czyli

Powyższy wzór jest słuszny dla <math>'''''r'''''>0</math>, oraz przy założeniu, że źródłem pola grawitacyjnego jest masa punktowa. Jeżeli zaś źródłem pola grawitacyjnego jest kula o promieniu '''''R''''', ''to powyżej przeprowadzone całkowanie jest słuszne na zewnątrz kuli, tj. dla <math>r\ge R</math> . Obliczenie energii potencjalnej dla <math>r < R</math> wymaga osobnych obliczeń (patrz poniżej).

Aby obliczyćObliczając potencjał wewnątrz kuli skorzystamy z faktu, że siła grawitacyjna działająca na ciało tam umieszczone (np.wewnątrz wjednorodnej wydrążonym tunelu)kuli pochodzi od masy <math>M(r)</math> tej części kuli, która majest bliżej środka niż miejsce, w którym promieńwyznaczamy renergię, czyli:

::<math>E_p(r)=\!\!\!\int\limits_{\infty }^{r}{\frac{GM(r)m}{r^{2}}}dr\!\!

= -\!\!\!\int\limits_frac{\infty GmM}^{Rr} + {\frac{GMmGmM}{rR^{2}3}}dr\!int\!limits_{R }^{r} r dr </math>

Wykonując do końca całkowanie otrzymuje się energię potencjalną wewnątrz kuli o masie '''''M''''' i promieniu '''''R'''''

:: <math>E_{p}(r)=-\frac 3 2 \frac{GmM}{R} +\frac 1 2 \frac{GmM}{R^3}r^2</math>

WEnergia środkuma kulinajmniejszą energiawartość taw mapobliżu minimumśrodka kuli osiągając w granicy <math>E_{p}(0)=-\frac 3 2 \frac{GmM}{R}</math> i rośnie proporcjonalnie do '''''r''''''<mathsup>r^2</mathsup>, osiągając wartość <math>E_{p}(R)=- \frac{GmM}{R}</math> na powierzchni kuli.