Rozmaitość liniowa: Różnice pomiędzy wersjami

 

== Równoległość rozmaitości ==

Dwie rozmaitości liniowe danej przestrzeni afinicznej nazywa się równoległymi, jeśli mają tę samą przestrzeń kierunkową<ref>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.228, Definicja 12.9'''</ref>.

Nie jest to jedyna istniejąca definicja równoległości rozmaitości liniowych. Nie istnieje ogólnie przyjęta przez wszystkich matematyków jednoznaczna definicja równoległości rozmaitości. Istnieją różne, nierównoważne ze sobą definicje, dlatego czytając tekst matematyczny związany z równoległością rozmaitości, konieczne jest zrozumienie co autor rozumie poprzez słowo ''równoległość''. Zaprezentowane wyżej pojęcie równoległości rozmaitości liniowych nie pokrywa się z pojęciem równoległości w geometrii elementarnej. Dlatego np. przez taką definicję prosta nie może być równoległa do płaszczyzny<ref name=kom>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.228, Twierdzenie 12.10 (1)'''</ref>. W niektórych książkach pojęcie równoległości definiowane jest w ogólniejszy sposób. Przykładowo w książce ''Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową'' (Jefimow, Rozendorn), rozmaitość liniowa <math>M_0+\mathbb{W}</math> jest równoległa do rozmaitości liniowej <math>N_0+\mathbb{T}</math>, gdy <math>\mathbb{W}</math> jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej <math>\mathbb{T}</math>. Jednak w ten sposób zdefiniowana równoległość ma tę wadę, że nie jest symetryczna. W ten sposób rozmaitość A może być równoległa do B i równocześnie B nie być równoległa do A<ref>[[:en:Nikolai Efimov|N. Jefimow]], E. Rozendorn, ''Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową'', wyd. II, Warszawa, 1976</ref>. Są też książki (np. ''Geometria analityczna wielowymiarowa'', [[Karol Borsuk]]), które w ten sposób opisaną niesymetryczną relację równoległości nazywają ''równoległością'', a przyjętą przez nas definicję nazywają ''ścisłą równoległością''<ref>[[Karol Borsuk|K. Borsuk]], ''Geometria analityczna wielowymiarowa'', wyd. V, Warszawa 1976</ref>. Niektórzy matematycy definiują równoległość w ten sam sposób co nasza definicja, lecz dodatkowo żądają, by rozmaitości równoległe nie posiadały punktów wspólnych<ref>R.I. Tyszkiewicz, A.S.Fiedienko, ''Liniejnaja ałgiebra i analiticzieskaja gieometrija'', Minsk 1976</ref><ref name=kom/>.