Rozmaitość liniowa: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięte 416 bajtów ,  5 lat temu
W sekcji z dowodami: Stylistyczne. Uzupełniłem o szczegóły ukryte za eufemizmami typu „to jest oczywiste”. Usunąłem bezsensowną definicję przestrzeni afinicznej w środku dowodu - jest ona przecież ustalona w założeniu do twierdzenia
(Sekcję „wymiar rozmaitości” zawierającą jedynie prostą definicję łączę z następną. Czym różnią się „Szczególne rodzaje rozmaitości” od „Szczególnych przypadków rozmaitości liniowych” ??)
(W sekcji z dowodami: Stylistyczne. Uzupełniłem o szczegóły ukryte za eufemizmami typu „to jest oczywiste”. Usunąłem bezsensowną definicję przestrzeni afinicznej w środku dowodu - jest ona przecież ustalona w założeniu do twierdzenia)
=== Lemat ===
<math>M,N\in M_0+\mathbb{W} \Rightarrow \overrightarrow{MN}\in\mathbb{W}</math><ref name=lemat>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.228, Twierdzenie 12.8'''</ref>
==== Dowód lematu ====
Jeśli <math>M\in M_0+\mathbb{W}</math>, to <math>M_0+\mathbb{W}=M+\mathbb{W}</math>. Zatem wtedy <math>N\in M+\mathbb{W}</math>, zatemi istnieje taki wektor <math>\mathfrak{m}\in\mathbb{W}</math>, żedla którego <math>N=M+\mathfrak{m}</math>. Stąd wynika, że <math>\overrightarrow{MN}=\mathfrak{m}\in\mathbb{W}</math><ref>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.228, Twierdzenie 12.8 - Dowód'''</ref>.
=== Twierdzenie ===
Rozmaitość liniowa <math>M_0+\mathbb{W}</math> przestrzeni afinicznej <math>\mathfrak{U}</math> rozpiętej nad przestrzenią wektorową <math>\mathbb{V}</math> jest przestrzenią afiniczną związaną z przestrzenią liniową <math>\mathbb{W}</math><ref>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.228, Twierdzenie 12.9'''</ref>.
==== Dowód twierdzenia ====
Jeśli <math>M\in M_0+\mathbb{W}</math>, to <math>M+\mathbb{W}=M_0+\mathbb{W}</math>. Stąd:
: <math>\forall_{\mathfrak{v}\in\mathbb{W}}\forall_{M\in M_0+\mathbb{W}} M+\mathfrak{v}\in M_0+\mathbb{W}</math>.
Rozważmy funkcję <math>\mathfrak{f}\colon\mathfrak{U}\times\mathbb{V}\to\mathfrak{U}</math>, taką, że:
: <math>\mathfrak{f}\colon (N,x)\mapsto N+x</math>.
Łatwo zauważyć, że funkcja ta posiada następującą własność:
: <math>\mathfrak{f}\colon (M_0+\mathbb{W})\times\mathbb{W}\to M_0+\mathbb{W}</math><ref name=proof>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.228, Twierdzenie 12.9 - Dowód'''</ref>.
 
Aby zakończyć dowód, wystarczy sprawdzić, czy funkcja <math>\mathfrak{f}</math> spełnia aksjomatykę przestrzeni afinicznej.
Niepusty zbiór <math>\mathfrak{U}</math> nazywany jest przestrzenią afiniczną związaną z przestrzenią wektorową <math>\mathbb{V}</math>, jeśli określona jest funkcja <math>f\colon\mathfrak{U}\times\mathbb{V}\to\mathfrak{U}</math>, która <math>\forall_{m\in\mathfrak{U}}\forall_{v\in\mathbb{V}} f(M,v)\in\mathfrak{U}</math>. Element ten oznaczmy <math>M\circledast v</math>. Musi on spełnić następujące warunki:
 
# <math>\forall_{M\in\mathfrak{U}}\forall_{x,y\in\mathbb{V}} M\circledast (x+y) = (M\circledast x)\circledast y</math>
Rzeczywiście, korzystając z tego, że <math> M\in \mathfrak{U},\ \ x,y\in \mathbb{V}</math> dostaniemy
# <math>\forall_{M,N\in\mathfrak{U}}\exist_{v\in\mathbb{V}} : M\circledast v=N</math><ref>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.222-223, Definicja 12.1'''</ref>.
: <math>\mathfrak{f}(M,x+y)=M+(x+y)=(M+x)+y=\mathfrak{f}( \mathfrak{f}( M,x) ,y)</math>
co oznacza, że <math>\mathfrak{f}</math> spełnia I aksjomat [[przestrzeń afiniczna#definicja|przestrzeni afinicznej]].<ref name=proof/>.
 
Z kolei jeśli <math>N,P\in M_0+\mathbb{W}</math>, to na mocy lematu<ref name=lemat/> otrzymujemy <math>\overrightarrow{NP}\in\mathbb{W}</math>. A stąd
:<math> \mathfrak{f}(N,\overrightarrow{NP})= N+\overrightarrow{NP}=P</math>.
Czyli funkcja <math>\mathfrak{f}</math> spełnia III aksjomat [[przestrzeń afiniczna#definicja|przestrzeni afinicznej]]<ref name=proof/>.
 
Aby zakończyć dowód, wystarczy sprawdzić, czy funkcja <math>\mathfrak{f}</math> spełnia powyższą aksjomatykę przestrzeni afinicznej. Oczywiste jest, że funkcja spełnia warunek 1<ref name=proof/>. Z kolei ponieważ jeśli <math>N,P\in M_0+\mathbb{W}</math>, to na mocy lematu<ref name=lemat/> otrzymujemy, że <math>\overrightarrow{NP}\in\mathbb{W}\wedge N+\overrightarrow{NP}=P</math>. Stąd wynika, że funkcja spełnia warunek 2, co kończy dowód<ref name=proof/>.
 
== Równoległość rozmaitości ==
Anonimowy użytkownik