Rozmaitość liniowa: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięte 656 bajtów ,  5 lat temu
→‎Równoległość rozmaitości: Sekcja przypomina esej nt. literatury matem. z poradami, jak czytać i jak rozumieć teksty. I to użalanie się nad prostą, że nie może być do czegoś równoległa, nad matematykami, że nie uzgodnili definicji.
(W sekcji z dowodami: Stylistyczne. Uzupełniłem o szczegóły ukryte za eufemizmami typu „to jest oczywiste”. Usunąłem bezsensowną definicję przestrzeni afinicznej w środku dowodu - jest ona przecież ustalona w założeniu do twierdzenia)
(→‎Równoległość rozmaitości: Sekcja przypomina esej nt. literatury matem. z poradami, jak czytać i jak rozumieć teksty. I to użalanie się nad prostą, że nie może być do czegoś równoległa, nad matematykami, że nie uzgodnili definicji.)
 
== Równoległość rozmaitości ==
Dwie rozmaitości liniowe danej przestrzeni afinicznej nazywa się '''równoległymi''', jeśli mają tę samą przestrzeń kierunkową<ref>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.228, Definicja 12.9'''</ref>.
=== Definicja ===
 
Dwie rozmaitości liniowe danej przestrzeni afinicznej nazywa się równoległymi, jeśli mają tę samą przestrzeń kierunkową<ref>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.228, Definicja 12.9'''</ref>.
Relacja równoległości jest relacją równoważności.
=== Uwagi ===
 
Nie jest to jedyna istniejąca definicja równoległości rozmaitości liniowych. Nie istnieje ogólnie przyjęta przez wszystkich matematyków jednoznaczna definicja równoległości rozmaitości. Istnieją różne, nierównoważne ze sobą definicje, dlatego czytając tekst matematyczny związany z równoległością rozmaitości, konieczne jest zrozumienie co autor rozumie poprzez słowo ''równoległość''. Zaprezentowane wyżej pojęcie równoległości rozmaitości liniowych nie pokrywa się z pojęciem równoległości w geometrii elementarnej. Dlatego np. przez taką definicję prosta nie może być równoległa do płaszczyzny<ref name=kom>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.228, Twierdzenie 12.10 (1)'''</ref>. W niektórych książkach pojęcie równoległości definiowane jest w ogólniejszy sposób. Przykładowo w książce ''Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową'' (Jefimow, Rozendorn), rozmaitość liniowa <math>M_0+\mathbb{W}</math> jest równoległa do rozmaitości liniowej <math>N_0+\mathbb{T}</math>, gdy <math>\mathbb{W}</math> jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej <math>\mathbb{T}</math>. Jednak w ten sposób zdefiniowana równoległość ma tę wadę, że nie jest symetryczna. W ten sposób rozmaitość A może być równoległa do B i równocześnie B nie być równoległa do A<ref>[[:en:Nikolai Efimov|N. Jefimow]], E. Rozendorn, ''Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową'', wyd. II, Warszawa, 1976</ref>. Są też książki (np. ''Geometria analityczna wielowymiarowa'', [[Karol Borsuk]]), które w ten sposób opisaną niesymetryczną relację równoległości nazywają ''równoległością'', a przyjętą przez nas definicję nazywają ''ścisłą równoległością''<ref>[[Karol Borsuk|K. Borsuk]], ''Geometria analityczna wielowymiarowa'', wyd. V, Warszawa 1976</ref>. Niektórzy matematycy definiują równoległość w ten sam sposób co nasza definicja, lecz dodatkowo żądają, by rozmaitości równoległe nie posiadały punktów wspólnych<ref>R.I. Tyszkiewicz, A.S.Fiedienko, ''Liniejnaja ałgiebra i analiticzieskaja gieometrija'', Minsk 1976</ref><ref name=kom/>.
Przyjmując definicję równoległości rozmaitości liniowych podaną na początku można wykazać, że każdeKażde dwie rozmaitości równoległe są równe lub rozłączne<ref>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.228, Twierdzenie 12.10'''</ref>.
 
W niektórych źródłach<ref>Np. R.I. Tyszkiewicz, A.S.Fiedienko, ''Liniejnaja ałgiebra i analiticzieskaja gieometrija'', Minsk 1976</ref> dodatkowo żąda się, by rozmaitości równoległe nie posiadały punktów wspólnych. Tak rozumiana równoległość nie będzie jednak równoważnością, a każde dwie rozmaitości równoległe będą rozłączne.
 
=== Definicja Uwaga===
Niektórzy autorzy przyjmują ogólniejszą definicję<ref>Np. ''Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową'' (Jefimow, Rozendorn)</ref>:
 
Rozmaitość liniowa <math>M_0+\mathbb{W}</math> jest '''równoległa''' do rozmaitości liniowej <math>N_0+\mathbb{T}</math>, gdy <math>\mathbb{W}</math> jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej <math>\mathbb{T}</math> tzn., gdy <math>\mathbb{W}<\mathbb{T}</math>.
 
Ta ogólniejsza definicja obejmuje np. przypadek równoległości prostej do płaszczyzny<ref name=kom>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.228, Twierdzenie 12.10 (1)'''</ref>.
 
Tak zdefiniowana równoległość nie jest relacją symetryczną, jest jedynie zwrotna i przechodnia. <ref>[[:en:Nikolai Efimov|N. Jefimow]], E. Rozendorn, ''Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową'', wyd. II, Warszawa, 1976</ref>.
 
W niektórych żródłach <ref>[[Karol Borsuk|K. Borsuk]], ''Geometria analityczna wielowymiarowa'', wyd. V, Warszawa 1976</ref> tę ogólniejszą niesymetryczną równoległość określa się ''równoległością'', a zdefiniowaną wyżej ''ścisłą równoległością''.
 
{{Przypisy}}
 
[[Kategoria:Geometria afiniczna]]
[[Kategoria:Algebra liniowa]]
 
Przyjmując definicję równoległości rozmaitości liniowych podaną na początku można wykazać, że każde dwie rozmaitości równoległe są równe lub rozłączne<ref>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.228, Twierdzenie 12.10'''</ref>.
 
{{Przypisy}}
Anonimowy użytkownik