Rozmaitość liniowa: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięte 84 bajty ,  5 lat temu
WP:SK, usunięcie zdublowanych kat.
(→‎Równoległość rozmaitości: Sekcja przypomina esej nt. literatury matem. z poradami, jak czytać i jak rozumieć teksty. I to użalanie się nad prostą, że nie może być do czegoś równoległa, nad matematykami, że nie uzgodnili definicji.)
(WP:SK, usunięcie zdublowanych kat.)
: <math>M_0+\mathbb{W}:=\{ M_0 + w : w\in\mathbb{W} \}</math>,
 
dla pewnego punktu <math>M_0\in \mathfrak{U}</math> i pewnej [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzeni przestrzeni wektorowej]] <math>\mathbb{W}< \mathbb{V}</math> <ref name=definicja>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.227, Definicja 12.8'''</ref>.
 
Punkt <math>M_0</math> nazywany jest ''punktem początkowym rozmaitości liniowej'', a podprzestrzeń wektorowa <math>\mathbb{W}</math> nazywana jest ''przestrzenią kierunkową rozmaitości''<ref name=definicja/>.
 
Własności:
* Każdy punkt danej rozmaitości liniowej można przyjąć za jej punkt początkowy<ref name=start>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.227, Twierdzenie 12.7'''</ref>.
 
* Przestrzeń kierunkowa danej rozmaitości jest wyznaczona jednoznacznie<ref name=start/>.
 
== Wymiar rozmaitości ==
'''Wymiarem rozmaitości''' nazywa się wymiar jej przestrzeni kierunkowej.
 
Jeśli więc przestrzeń kierunkowa rozmaitości ma [[wymiar (matematyka)#Wymiar przestrzeni liniowej|wymiar]] ''m'', to o rozmaitości mówi się '''Rozmaitość liniowa ''m''-wymiarowa''' <ref name=wymiary>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.227'''</ref>.
 
Rozmaitość z przestrzenią kierunkową <math>\mathbb{W}</math>, dla której
* <math>\dim\mathbb{W}=1</math> nazywa się ''[[prosta|prostą]]''
* <math>\dim\mathbb{W}=2</math> nazywa się ''[[płaszczyzna|płaszczyzną]]'':
* <math> \dim\mathbb{W}=\dim\mathbb{V}-1</math> nazywa się ''[[hiperpłaszczyzna|hiperpłaszczyzną]]'': <ref name=wymiary/>.
 
 
== Przykłady rozmaitości liniowych ==
Rzeczywiście, korzystając z tego, że <math> M\in \mathfrak{U},\ \ x,y\in \mathbb{V}</math> dostaniemy
: <math>\mathfrak{f}(M,x+y)=M+(x+y)=(M+x)+y=\mathfrak{f}( \mathfrak{f}( M,x) ,y)</math>
co oznacza, że <math>\mathfrak{f}</math> spełnia I aksjomat [[przestrzeń afiniczna#definicja|przestrzeni afinicznej]].<ref name=proof/>..
 
Z kolei jeśli <math>N,P\in M_0+\mathbb{W}</math>, to na mocy lematu<ref name=lemat/> otrzymujemy <math>\overrightarrow{NP}\in\mathbb{W}</math>. A stąd
: <math> \mathfrak{f}(N,\overrightarrow{NP})= N+\overrightarrow{NP}=P</math>.
Czyli funkcja <math>\mathfrak{f}</math> spełnia III aksjomat [[przestrzeń afiniczna#definicja|przestrzeni afinicznej]]<ref name=proof/>.
 
 
== Równoległość rozmaitości ==
W niektórych źródłach<ref>Np. R.I. Tyszkiewicz, A.S.Fiedienko, ''Liniejnaja ałgiebra i analiticzieskaja gieometrija'', Minsk 1976</ref> dodatkowo żąda się, by rozmaitości równoległe nie posiadały punktów wspólnych. Tak rozumiana równoległość nie będzie jednak równoważnością, a każde dwie rozmaitości równoległe będą rozłączne.
 
=== Uwaga ===
Niektórzy autorzy przyjmują ogólniejszą definicję<ref>Np. ''Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową'' (Jefimow, Rozendorn)</ref>:
 
Ta ogólniejsza definicja obejmuje np. przypadek równoległości prostej do płaszczyzny<ref name=kom>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.228, Twierdzenie 12.10 (1)'''</ref>.
 
Tak zdefiniowana równoległość nie jest relacją symetryczną, jest jedynie zwrotna i przechodnia. <ref>[[:en:Nikolai Efimov|N. Jefimow]], E. Rozendorn, ''Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową'', wyd. II, Warszawa, 1976</ref>.
 
W niektórych żródłach <ref>[[Karol Borsuk|K. Borsuk]], ''Geometria analityczna wielowymiarowa'', wyd. V, Warszawa 1976</ref> tę ogólniejszą niesymetryczną równoległość określa się ''równoległością'', a zdefiniowaną wyżej ''ścisłą równoległością''.
 
{{Przypisy}}
 
[[Kategoria:Geometria afiniczna]]
[[Kategoria:Algebra liniowa]]
 
W niektórych żródłach <ref>[[Karol Borsuk|K. Borsuk]], ''Geometria analityczna wielowymiarowa'', wyd. V, Warszawa 1976</ref> tę ogólniejszą niesymetryczną równoległość określa się ''równoległością'', a zdefiniowaną wyżej ''ścisłą równoległością''.
 
{{Przypisy}}